Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omeiunle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omeiunle 39407
Description: The outer measure of the indexed union of a countable set is the less than or equal to the extended sum of the outer measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omeiunle.nph 𝑛𝜑
omeiunle.ne 𝑛𝐸
omeiunle.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
omeiunle.x 𝑋 = dom 𝑂
omeiunle.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
omeiunle.e (𝜑𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋)
Assertion
Ref Expression
omeiunle (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑂   𝑛,𝑋   𝑛,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem omeiunle
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12127 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 omeiunle.o . . . 4 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
3 omeiunle.x . . . 4 𝑋 = dom 𝑂
4 omeiunle.nph . . . . . 6 𝑛𝜑
5 omeiunle.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋)
65ffvelrnda 6267 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ∈ 𝒫 𝑋)
7 elpwi 4117 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑛) ∈ 𝒫 𝑋 → (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
98ex 449 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛𝑍 → (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋))
104, 9ralrimi 2940 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
11 iunss 4497 . . . . 5 ( 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
1210, 11sylibr 223 . . . 4 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
132, 3, 12omecl 39393 . . 3 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
141, 13sseldi 3566 . 2 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
155ffnd 5959 . . . . 5 (𝜑𝐸 Fn 𝑍)
16 omeiunle.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑁)
17 fvex 6113 . . . . . . 7 (ℤ𝑁) ∈ V
1816, 17eqeltri 2684 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
1918a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ V)
20 fnex 6386 . . . . 5 ((𝐸 Fn 𝑍𝑍 ∈ V) → 𝐸 ∈ V)
2115, 19, 20syl2anc 691 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ V)
22 rnexg 6990 . . . 4 (𝐸 ∈ V → ran 𝐸 ∈ V)
2321, 22syl 17 . . 3 (𝜑 → ran 𝐸 ∈ V)
242, 3omef 39386 . . . 4 (𝜑𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
25 frn 5966 . . . . 5 (𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋 → ran 𝐸 ⊆ 𝒫 𝑋)
265, 25syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐸 ⊆ 𝒫 𝑋)
2724, 26fssresd 5984 . . 3 (𝜑 → (𝑂 ↾ ran 𝐸):ran 𝐸⟶(0[,]+∞))
2823, 27sge0xrcl 39278 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)) ∈ ℝ*)
292adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑂 ∈ OutMeas)
3029, 3, 8omecl 39393 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
31 eqid 2610 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))
324, 30, 31fmptdf 6294 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))):𝑍⟶(0[,]+∞))
3319, 32sge0xrcl 39278 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ*)
34 fvex 6113 . . . . . . . 8 (𝐸𝑛) ∈ V
3534rgenw 2908 . . . . . . 7 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ V
36 dfiun3g 5299 . . . . . . 7 (∀𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ V → 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) = ran (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛)))
3735, 36ax-mp 5 . . . . . 6 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) = ran (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛))
3837a1i 11 . . . . 5 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) = ran (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛)))
395feqmptd 6159 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 = (𝑚𝑍 ↦ (𝐸𝑚)))
40 omeiunle.ne . . . . . . . . . . 11 𝑛𝐸
41 nfcv 2751 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑚
4240, 41nffv 6110 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝐸𝑚)
43 nfcv 2751 . . . . . . . . . 10 𝑚(𝐸𝑛)
44 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (𝐸𝑚) = (𝐸𝑛))
4542, 43, 44cbvmpt 4677 . . . . . . . . 9 (𝑚𝑍 ↦ (𝐸𝑚)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛))
4645a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ (𝐸𝑚)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛)))
4739, 46eqtrd 2644 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 = (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛)))
4847rneqd 5274 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐸 = ran (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛)))
4948unieqd 4382 . . . . 5 (𝜑 ran 𝐸 = ran (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛)))
5038, 49eqtr4d 2647 . . . 4 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) = ran 𝐸)
5150fveq2d 6107 . . 3 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = (𝑂 ran 𝐸))
52 fnrndomg 9239 . . . . . 6 (𝑍 ∈ V → (𝐸 Fn 𝑍 → ran 𝐸𝑍))
5319, 15, 52sylc 63 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐸𝑍)
5416uzct 38257 . . . . . 6 𝑍 ≼ ω
5554a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑍 ≼ ω)
56 domtr 7895 . . . . 5 ((ran 𝐸𝑍𝑍 ≼ ω) → ran 𝐸 ≼ ω)
5753, 55, 56syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐸 ≼ ω)
582, 3, 26, 57omeunile 39395 . . 3 (𝜑 → (𝑂 ran 𝐸) ≤ (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)))
5951, 58eqbrtrd 4605 . 2 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)))
60 ltweuz 12622 . . . . . 6 < We (ℤ𝑁)
61 weeq2 5027 . . . . . . 7 (𝑍 = (ℤ𝑁) → ( < We 𝑍 ↔ < We (ℤ𝑁)))
6216, 61ax-mp 5 . . . . . 6 ( < We 𝑍 ↔ < We (ℤ𝑁))
6360, 62mpbir 220 . . . . 5 < We 𝑍
6463a1i 11 . . . 4 (𝜑 → < We 𝑍)
6519, 24, 5, 64sge0resrn 39297 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)) ≤ (Σ^‘(𝑂𝐸)))
66 fcompt 6306 . . . . . 6 ((𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋) → (𝑂𝐸) = (𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚))))
67 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝑛𝑂
6867, 42nffv 6110 . . . . . . . 8 𝑛(𝑂‘(𝐸𝑚))
69 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑚(𝑂‘(𝐸𝑛))
7044fveq2d 6107 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (𝑂‘(𝐸𝑚)) = (𝑂‘(𝐸𝑛)))
7168, 69, 70cbvmpt 4677 . . . . . . 7 (𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))
7271a1i 11 . . . . . 6 ((𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋) → (𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))
7366, 72eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋) → (𝑂𝐸) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))
7424, 5, 73syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐸) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))
7574fveq2d 6107 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑂𝐸)) = (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
7665, 75breqtrd 4609 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
7714, 28, 33, 59, 76xrletrd 11869 1 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wnf 1699  wcel 1977  wnfc 2738  wral 2896  Vcvv 3173  wss 3540  𝒫 cpw 4108   cuni 4372   ciun 4455   class class class wbr 4583  cmpt 4643   We wwe 4996  dom cdm 5038  ran crn 5039  cres 5040  ccom 5042   Fn wfn 5799  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  ωcom 6957  cdom 7839  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  *cxr 9952   < clt 9953  cle 9954  cuz 11563  [,]cicc 12049  Σ^csumge0 39255  OutMeascome 39379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-ac 8822  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-sumge0 39256  df-ome 39380
This theorem is referenced by:  omeiunltfirp  39409  omeiunlempt  39410  caratheodorylem2  39417
  Copyright terms: Public domain W3C validator