Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem5 23012
 Description: Lemma for minvec 23015. Discharge the assumptions in minveclem4 23011. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
Assertion
Ref Expression
minveclem5 (𝜑 → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem minveclem5
Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.x . 2 𝑋 = (Base‘𝑈)
2 minvec.m . 2 = (-g𝑈)
3 minvec.n . 2 𝑁 = (norm‘𝑈)
4 minvec.u . 2 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
5 minvec.y . 2 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
6 minvec.w . 2 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
7 minvec.a . 2 (𝜑𝐴𝑋)
8 minvec.j . 2 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
9 minvec.r . 2 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
10 minvec.s . 2 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
11 minvec.d . 2 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
12 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑟 → ((𝑆↑2) + 𝑠) = ((𝑆↑2) + 𝑟))
1312breq2d 4595 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑟 → (((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠) ↔ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)))
1413rabbidv 3164 . . . . 5 (𝑠 = 𝑟 → {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠)} = {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
15 oveq2 6557 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (𝐴𝐷𝑧) = (𝐴𝐷𝑦))
1615oveq1d 6564 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴𝐷𝑧)↑2) = ((𝐴𝐷𝑦)↑2))
1716breq1d 4593 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟) ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)))
1817cbvrabv 3172 . . . . 5 {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}
1914, 18syl6eq 2660 . . . 4 (𝑠 = 𝑟 → {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠)} = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
2019cbvmptv 4678 . . 3 (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠)}) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
2120rneqi 5273 . 2 ran (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠)}) = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
22 eqid 2610 . 2 (𝐽 fLim (𝑋filGenran (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠)}))) = (𝐽 fLim (𝑋filGenran (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠)})))
23 eqid 2610 . 2 (((((𝐴𝐷 (𝐽 fLim (𝑋filGenran (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠)})))) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)) = (((((𝐴𝐷 (𝐽 fLim (𝑋filGenran (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠)})))) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 21, 22, 23minveclem4 23011 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ran crn 5039   ↾ cres 5040  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  infcinf 8230  ℝcr 9814   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  2c2 10947  ℝ+crp 11708  ↑cexp 12722  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  distcds 15777  TopOpenctopn 15905  -gcsg 17247  LSubSpclss 18753  filGencfg 19556   fLim cflim 21548  normcnm 22191  ℂPreHilccph 22774  CMetSpccms 22937 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-0g 15925  df-topgen 15927  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-rnghom 18538  df-drng 18572  df-subrg 18601  df-staf 18668  df-srng 18669  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lmhm 18843  df-lvec 18924  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-phl 19790  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-haus 20929  df-fil 21460  df-flim 21553  df-xms 21935  df-ms 21936  df-nm 22197  df-ngp 22198  df-nlm 22201  df-clm 22671  df-cph 22776  df-cfil 22861  df-cmet 22863  df-cms 22940 This theorem is referenced by:  minveclem7  23014
 Copyright terms: Public domain W3C validator