MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdsf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdsf 22459
Description: The distance from a point to a set is a nonnegative extended real number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
metdsf ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdsf
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 794 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 simplr 788 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑥𝑋)
3 simplr 788 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑆𝑋)
43sselda 3568 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝑋)
5 xmetcl 21946 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
61, 2, 4, 5syl3anc 1318 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
7 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)) = (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦))
86, 7fmptd 6292 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)):𝑆⟶ℝ*)
9 frn 5966 . . . . 5 ((𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)):𝑆⟶ℝ* → ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)) ⊆ ℝ*)
108, 9syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)) ⊆ ℝ*)
11 infxrcl 12035 . . . 4 (ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)) ⊆ ℝ* → inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1210, 11syl 17 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
13 xmetge0 21959 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
141, 2, 4, 13syl3anc 1318 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
1514ralrimiva 2949 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ∀𝑦𝑆 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
16 ovex 6577 . . . . . . 7 (𝑥𝐷𝑦) ∈ V
1716rgenw 2908 . . . . . 6 𝑦𝑆 (𝑥𝐷𝑦) ∈ V
18 breq2 4587 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑥𝐷𝑦) → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦)))
197, 18ralrnmpt 6276 . . . . . 6 (∀𝑦𝑆 (𝑥𝐷𝑦) ∈ V → (∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦))0 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑦𝑆 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦)))
2017, 19ax-mp 5 . . . . 5 (∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦))0 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑦𝑆 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
2115, 20sylibr 223 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦))0 ≤ 𝑧)
22 0xr 9965 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
23 infxrgelb 12037 . . . . 5 ((ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)) ⊆ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (0 ≤ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦))0 ≤ 𝑧))
2410, 22, 23sylancl 693 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (0 ≤ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦))0 ≤ 𝑧))
2521, 24mpbird 246 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → 0 ≤ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
26 elxrge0 12152 . . 3 (inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞) ↔ (inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < )))
2712, 25, 26sylanbrc 695 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
28 metdscn.f . 2 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
2927, 28fmptd 6292 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  Vcvv 3173  wss 3540   class class class wbr 4583  cmpt 4643  ran crn 5039  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  infcinf 8230  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  *cxr 9952   < clt 9953  cle 9954  [,]cicc 12049  ∞Metcxmt 19552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-xmet 19560
This theorem is referenced by:  metds0  22461  metdstri  22462  metdsre  22464  metdseq0  22465  metdscnlem  22466  metdscn  22467  metnrmlem1a  22469  metnrmlem1  22470  lebnumlem1  22568
  Copyright terms: Public domain W3C validator