MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdscnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdscnlem 22466
Description: Lemma for metdscn 22467. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metdscn.c 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
metdscn.k 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
metdscnlem.1 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metdscnlem.2 (𝜑𝑆𝑋)
metdscnlem.3 (𝜑𝐴𝑋)
metdscnlem.4 (𝜑𝐵𝑋)
metdscnlem.5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
metdscnlem.6 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) < 𝑅)
Assertion
Ref Expression
metdscnlem (𝜑 → ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹𝐵)) < 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdscnlem
StepHypRef Expression
1 metdscnlem.1 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 metdscnlem.2 . . . . . 6 (𝜑𝑆𝑋)
3 metdscn.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
43metdsf 22459 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
51, 2, 4syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
6 metdscnlem.3 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
75, 6ffvelrnd 6268 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞))
8 elxrge0 12152 . . . . 5 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝐴)))
98simplbi 475 . . . 4 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
107, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
11 metdscnlem.4 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑋)
125, 11ffvelrnd 6268 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞))
13 elxrge0 12152 . . . . . 6 ((𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)))
1413simplbi 475 . . . . 5 ((𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ*)
1512, 14syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ*)
1615xnegcld 12002 . . 3 (𝜑 → -𝑒(𝐹𝐵) ∈ ℝ*)
1710, 16xaddcld 12003 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹𝐵)) ∈ ℝ*)
18 xmetcl 21946 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
191, 6, 11, 18syl3anc 1318 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
20 metdscnlem.5 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
2120rpxrd 11749 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
223metdstri 22462 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐹𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹𝐵)))
231, 2, 6, 11, 22syl22anc 1319 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹𝐵)))
248simprbi 479 . . . . 5 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹𝐴))
257, 24syl 17 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (𝐹𝐴))
2613simprbi 479 . . . . . 6 ((𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹𝐵))
2712, 26syl 17 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝐹𝐵))
28 ge0nemnf 11878 . . . . 5 (((𝐹𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)) → (𝐹𝐵) ≠ -∞)
2915, 27, 28syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐵) ≠ -∞)
30 xmetge0 21959 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
311, 6, 11, 30syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
32 xlesubadd 11965 . . . 4 ((((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐵) ≠ -∞ ∧ 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))) → (((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (𝐹𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹𝐵))))
3310, 15, 19, 25, 29, 31, 32syl33anc 1333 . . 3 (𝜑 → (((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (𝐹𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹𝐵))))
3423, 33mpbird 246 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
35 metdscnlem.6 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) < 𝑅)
3617, 19, 21, 34, 35xrlelttrd 11867 1 (𝜑 → ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹𝐵)) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wss 3540   class class class wbr 4583  cmpt 4643  ran crn 5039  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  infcinf 8230  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  *cxr 9952   < clt 9953  cle 9954  +crp 11708  -𝑒cxne 11819   +𝑒 cxad 11820  [,]cicc 12049  distcds 15777  *𝑠cxrs 15983  ∞Metcxmt 19552  MetOpencmopn 19557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-ec 7631  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-bl 19562
This theorem is referenced by:  metdscn  22467
  Copyright terms: Public domain W3C validator