Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdsf Structured version   Unicode version

Theorem metdsf 21857
 Description: The distance from a point to a set is a nonnegative extended real number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f inf
Assertion
Ref Expression
metdsf
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem metdsf
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 767 . . . . . . 7
2 simplr 761 . . . . . . 7
3 simplr 761 . . . . . . . 8
43sselda 3465 . . . . . . 7
5 xmetcl 21338 . . . . . . 7
61, 2, 4, 5syl3anc 1265 . . . . . 6
7 eqid 2423 . . . . . 6
86, 7fmptd 6059 . . . . 5
9 frn 5750 . . . . 5
108, 9syl 17 . . . 4
11 infxrcl 11621 . . . 4 inf
1210, 11syl 17 . . 3 inf
13 xmetge0 21351 . . . . . . 7
141, 2, 4, 13syl3anc 1265 . . . . . 6
1514ralrimiva 2840 . . . . 5
16 ovex 6331 . . . . . . 7
1716rgenw 2787 . . . . . 6
18 breq2 4425 . . . . . . 7
197, 18ralrnmpt 6044 . . . . . 6
2017, 19ax-mp 5 . . . . 5
2115, 20sylibr 216 . . . 4
22 0xr 9689 . . . . 5
23 infxrgelb 11623 . . . . 5 inf
2410, 22, 23sylancl 667 . . . 4 inf
2521, 24mpbird 236 . . 3 inf
26 elxrge0 11743 . . 3 inf inf inf
2712, 25, 26sylanbrc 669 . 2 inf
28 metdscn.f . 2 inf
2927, 28fmptd 6059 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1438   wcel 1869  wral 2776  cvv 3082   wss 3437   class class class wbr 4421   cmpt 4480   crn 4852  wf 5595  cfv 5599  (class class class)co 6303  infcinf 7959  cc0 9541   cpnf 9674  cxr 9676   clt 9677   cle 9678  cicc 11640  cxmt 18948 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-er 7369  df-map 7480  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-sup 7960  df-inf 7961  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-2 10670  df-rp 11305  df-xneg 11411  df-xadd 11412  df-xmul 11413  df-icc 11644  df-xmet 18956 This theorem is referenced by:  metds0  21859  metdstri  21860  metdsre  21862  metdseq0  21863  metdscnlem  21864  metdscn  21865  metnrmlem1a  21867  metnrmlem1  21868  lebnumlem1  21981
 Copyright terms: Public domain W3C validator