Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meadjiun Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The measure of the disjoint union of a countable set is the extended sum of the measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
meadjiun (𝜑 → (𝑀 𝑘𝐴 𝐵) = (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝑀𝐵))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀   𝑆,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meadjiun.1 . . . . 5 𝑘𝜑
2 meadjiun.b . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
32ex 449 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵𝑆))
41, 3ralrimi 2940 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵𝑆)
5 dfiun3g 5299 . . . 4 (∀𝑘𝐴 𝐵𝑆 𝑘𝐴 𝐵 = ran (𝑘𝐴𝐵))
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑 𝑘𝐴 𝐵 = ran (𝑘𝐴𝐵))
76fveq2d 6107 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑘𝐴 𝐵) = (𝑀 ran (𝑘𝐴𝐵)))
8 meadjiun.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
9 meadjiun.s . . 3 𝑆 = dom 𝑀
10 eqid 2610 . . . . 5 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
1110rnmptss 6299 . . . 4 (∀𝑘𝐴 𝐵𝑆 → ran (𝑘𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)
124, 11syl 17 . . 3 (𝜑 → ran (𝑘𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)
13 meadjiun.a . . . 4 (𝜑𝐴 ≼ ω)
14 1stcrestlem 21065 . . . 4 (𝐴 ≼ ω → ran (𝑘𝐴𝐵) ≼ ω)
1513, 14syl 17 . . 3 (𝜑 → ran (𝑘𝐴𝐵) ≼ ω)
16 meadjiun.dj . . . 4 (𝜑Disj 𝑘𝐴 𝐵)
1710disjrnmpt2 38370 . . . 4 (Disj 𝑘𝐴 𝐵Disj 𝑥 ∈ ran (𝑘𝐴𝐵)𝑥)
1816, 17syl 17 . . 3 (𝜑Disj 𝑥 ∈ ran (𝑘𝐴𝐵)𝑥)
198, 9, 12, 15, 18meadjuni 39350 . 2 (𝜑 → (𝑀 ran (𝑘𝐴𝐵)) = (Σ^‘(𝑀 ↾ ran (𝑘𝐴𝐵))))
20 reldom 7847 . . . . . 6 Rel ≼
21 brrelex 5080 . . . . . 6 ((Rel ≼ ∧ 𝐴 ≼ ω) → 𝐴 ∈ V)
2220, 21mpan 702 . . . . 5 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
2313, 22syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
241, 2, 10fmptdf 6294 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴𝑆)
25 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑖))
2625neeq1d 2841 . . . . 5 (𝑗 = 𝑖 → (((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) ≠ ∅ ↔ ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑖) ≠ ∅))
2726cbvrabv 3172 . . . 4 {𝑗𝐴 ∣ ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) ≠ ∅} = {𝑖𝐴 ∣ ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑖) ≠ ∅}
28 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖𝐴)
29 nfv 1830 . . . . . . . . . . 11 𝑘 𝑖𝐴
301, 29nfan 1816 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝜑𝑖𝐴)
31 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑖
3231nfcsb1 3514 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑖 / 𝑘𝐵
33 nfcv 2751 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑆
3432, 33nfel 2763 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑖 / 𝑘𝐵𝑆
3530, 34nfim 1813 . . . . . . . . 9 𝑘((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖 / 𝑘𝐵𝑆)
36 eleq1 2676 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘𝐴𝑖𝐴))
3736anbi2d 736 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑖𝐴)))
38 csbeq1a 3508 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖𝐵 = 𝑖 / 𝑘𝐵)
3938eleq1d 2672 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵𝑆𝑖 / 𝑘𝐵𝑆))
4037, 39imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆) ↔ ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖 / 𝑘𝐵𝑆)))
4135, 40, 2chvar 2250 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖 / 𝑘𝐵𝑆)
4231, 32, 38, 10fvmptf 6209 . . . . . . . 8 ((𝑖𝐴𝑖 / 𝑘𝐵𝑆) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑖) = 𝑖 / 𝑘𝐵)
4328, 41, 42syl2anc 691 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑖) = 𝑖 / 𝑘𝐵)
4443disjeq2dv 4558 . . . . . 6 (𝜑 → (Disj 𝑖𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑖) ↔ Disj 𝑖𝐴 𝑖 / 𝑘𝐵))
45 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝑖𝐵
4645, 32, 38cbvdisj 4563 . . . . . . . 8 (Disj 𝑘𝐴 𝐵Disj 𝑖𝐴 𝑖 / 𝑘𝐵)
4746bicomi 213 . . . . . . 7 (Disj 𝑖𝐴 𝑖 / 𝑘𝐵Disj 𝑘𝐴 𝐵)
4847a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (Disj 𝑖𝐴 𝑖 / 𝑘𝐵Disj 𝑘𝐴 𝐵))
4944, 48bitrd 267 . . . . 5 (𝜑 → (Disj 𝑖𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑖) ↔ Disj 𝑘𝐴 𝐵))
5016, 49mpbird 246 . . . 4 (𝜑Disj 𝑖𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑖))
518, 9, 23, 24, 27, 50meadjiunlem 39358 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ ran (𝑘𝐴𝐵))) = (Σ^‘(𝑀 ∘ (𝑘𝐴𝐵))))
5245, 32, 38cbvmpt 4677 . . . . . . 7 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑖𝐴𝑖 / 𝑘𝐵)
5352coeq2i 5204 . . . . . 6 (𝑀 ∘ (𝑘𝐴𝐵)) = (𝑀 ∘ (𝑖𝐴𝑖 / 𝑘𝐵))
5453a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 ∘ (𝑘𝐴𝐵)) = (𝑀 ∘ (𝑖𝐴𝑖 / 𝑘𝐵)))
55 eqidd 2611 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖𝐴𝑖 / 𝑘𝐵) = (𝑖𝐴𝑖 / 𝑘𝐵))
568, 9meaf 39346 . . . . . . 7 (𝜑𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
5756feqmptd 6159 . . . . . 6 (𝜑𝑀 = (𝑦𝑆 ↦ (𝑀𝑦)))
58 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑖 / 𝑘𝐵 → (𝑀𝑦) = (𝑀𝑖 / 𝑘𝐵))
5941, 55, 57, 58fmptco 6303 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 ∘ (𝑖𝐴𝑖 / 𝑘𝐵)) = (𝑖𝐴 ↦ (𝑀𝑖 / 𝑘𝐵)))
60 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑖(𝑀𝐵)
61 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝑘𝑀
6261, 32nffv 6110 . . . . . . . 8 𝑘(𝑀𝑖 / 𝑘𝐵)
6338fveq2d 6107 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 → (𝑀𝐵) = (𝑀𝑖 / 𝑘𝐵))
6460, 62, 63cbvmpt 4677 . . . . . . 7 (𝑘𝐴 ↦ (𝑀𝐵)) = (𝑖𝐴 ↦ (𝑀𝑖 / 𝑘𝐵))
6564eqcomi 2619 . . . . . 6 (𝑖𝐴 ↦ (𝑀𝑖 / 𝑘𝐵)) = (𝑘𝐴 ↦ (𝑀𝐵))
6665a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖𝐴 ↦ (𝑀𝑖 / 𝑘𝐵)) = (𝑘𝐴 ↦ (𝑀𝐵)))
6754, 59, 663eqtrd 2648 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ∘ (𝑘𝐴𝐵)) = (𝑘𝐴 ↦ (𝑀𝐵)))
6867fveq2d 6107 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ∘ (𝑘𝐴𝐵))) = (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝑀𝐵))))
6951, 68eqtrd 2644 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ ran (𝑘𝐴𝐵))) = (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝑀𝐵))))
707, 19, 693eqtrd 2648 1 (𝜑 → (𝑀 𝑘𝐴 𝐵) = (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝑀𝐵))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173  ⦋csb 3499   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ∪ cuni 4372  ∪ ciun 4455  Disj wdisj 4553   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ran crn 5039   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  Rel wrel 5043  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ωcom 6957   ≼ cdom 7839  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  [,]cicc 12049  Σ^csumge0 39255  Meascmea 39342 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-sumge0 39256  df-mea 39343 This theorem is referenced by:  meaiunlelem  39361  meaiuninclem  39373  vonct  39584
 Copyright terms: Public domain W3C validator