Theorem lspsneleq 18936

Description: Membership relation that implies equality of spans. (spansneleq 27813 analog.) (Contributed by NM, 4-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsneleq.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsneleq.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsneleq.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsneleq.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspsneleq.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsneleq.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
lspsneleq.z	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
lspsneleq	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lspsneleq

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsneleq.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
2		lspsneleq.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		lveclmod 18927	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lspsneleq.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
8		lspsneleq.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		lspsneleq.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
11	6, 7, 8, 9, 10	lspsnel 18824	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
12	4, 5, 11	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
13		simpr 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
14	13	sneqd 4137	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → {𝑌} = {(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)})
15	14	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)}))
16	2	ad2antrr 758	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → 𝑊 ∈ LVec)
17		simplr 788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
18		lspsneleq.z	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
19	18	ad2antrr 758	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → 𝑌 ≠ 0 )
20		simplr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∧ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
21		simpr 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∧ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
22	21	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∧ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
23		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
24		lspsneleq.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
25	8, 6, 9, 23, 24	lmod0vs 18719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 )
26	4, 5, 25	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 )
27	26	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∧ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 )
28	20, 22, 27	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∧ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑌 = 0 )
29	28	ex 449	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → 𝑌 = 0 ))
30	29	necon3d 2803	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → (𝑌 ≠ 0 → 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
31	19, 30	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
32	5	ad2antrr 758	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
33	8, 6, 9, 7, 23, 10	lspsnvs 18935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))
34	16, 17, 31, 32, 33	syl121anc 1323	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → (𝑁‘{(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))
35	15, 34	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))
36	35	ex 449	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋})))
37	36	rexlimdva 3013	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋})))
38	12, 37	sylbid 229	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋})))
39	1, 38	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771   ·_𝑠 cvsca 15772  0_gc0g 15923  LModclmod 18686  LSpanclspn 18792  LVecclvec 18923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924

This theorem is referenced by:  lspsncmp  18937  lspsnel4  18945  lspdisj2  18948  lspexch  18950  lsmcv  18962  mapdpglem10  35988  mapdpglem15  35993