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Theorem lnopp2hpgb 25455
Description: Theorem 9.8 of [Schwabhauser] p. 71. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishpg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishpg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishpg.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
ishpg.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
ishpg.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
ishpg.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgbr.a (𝜑𝐴𝑃)
hpgbr.b (𝜑𝐵𝑃)
lnopp2hpgb.c (𝜑𝐶𝑃)
lnopp2hpgb.1 (𝜑𝐴𝑂𝐶)
Assertion
Ref Expression
lnopp2hpgb (𝜑 → (𝐵𝑂𝐶𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐶,𝑎,𝑏,𝑡   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem lnopp2hpgb
Dummy variables 𝑑 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopp2hpgb.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
21adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐵𝑂𝐶) → 𝐶𝑃)
3 lnopp2hpgb.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑂𝐶)
43adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐵𝑂𝐶) → 𝐴𝑂𝐶)
5 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝐵𝑂𝐶) → 𝐵𝑂𝐶)
6 breq2 4587 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐶 → (𝐴𝑂𝑑𝐴𝑂𝐶))
7 breq2 4587 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐶 → (𝐵𝑂𝑑𝐵𝑂𝐶))
86, 7anbi12d 743 . . . . 5 (𝑑 = 𝐶 → ((𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑) ↔ (𝐴𝑂𝐶𝐵𝑂𝐶)))
98rspcev 3282 . . . 4 ((𝐶𝑃 ∧ (𝐴𝑂𝐶𝐵𝑂𝐶)) → ∃𝑑𝑃 (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑))
102, 4, 5, 9syl12anc 1316 . . 3 ((𝜑𝐵𝑂𝐶) → ∃𝑑𝑃 (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑))
11 ishpg.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
12 ishpg.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
13 ishpg.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
14 ishpg.o . . . . 5 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
15 ishpg.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
16 ishpg.d . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
17 hpgbr.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
18 hpgbr.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
1911, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18hpgbr 25452 . . . 4 (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑑𝑃 (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)))
2019adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵𝑂𝐶) → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑑𝑃 (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)))
2110, 20mpbird 246 . 2 ((𝜑𝐵𝑂𝐶) → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
22 eqid 2610 . . . . . . . 8 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
2316ad7antr 770 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2423ad3antrrr 762 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2515ad7antr 770 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2625ad3antrrr 762 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
27 eqid 2610 . . . . . . . 8 (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
2817ad3antrrr 762 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) → 𝐴𝑃)
2928ad4antr 764 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐴𝑃)
3029ad3antrrr 762 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝐴𝑃)
3118ad3antrrr 762 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) → 𝐵𝑃)
3231ad4antr 764 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐵𝑃)
3332ad3antrrr 762 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝐵𝑃)
341ad10antr 776 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝐶𝑃)
353ad10antr 776 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝐴𝑂𝐶)
36 simpr 476 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑧𝐷)
37 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑦𝐷)
3811, 13, 12, 25, 23, 37tglnpt 25244 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑦𝑃)
3938ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑦𝑃)
40 simp-5r 805 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑦𝐷)
4111, 22, 12, 14, 13, 24, 26, 30, 34, 35oppne1 25433 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → ¬ 𝐴𝐷)
42 nelne2 2879 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐷 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝑦𝐴)
4340, 41, 42syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑦𝐴)
4411, 12, 13, 26, 39, 30, 43tgelrnln 25325 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → (𝑦𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
4511, 12, 13, 26, 39, 30, 43tglinerflx2 25329 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝐴 ∈ (𝑦𝐿𝐴))
46 nelne1 2878 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (𝑦𝐿𝐴) ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝑦𝐿𝐴) ≠ 𝐷)
4745, 41, 46syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → (𝑦𝐿𝐴) ≠ 𝐷)
4847necomd 2837 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝐷 ≠ (𝑦𝐿𝐴))
49 simpllr 795 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑧𝑃)
50 simplrr 797 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))
5111, 12, 13, 26, 39, 30, 49, 43, 50btwnlng1 25314 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑦𝐿𝐴))
5236, 51elind 3760 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑧 ∈ (𝐷 ∩ (𝑦𝐿𝐴)))
5311, 12, 13, 26, 39, 30, 43tglinerflx1 25328 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑦 ∈ (𝑦𝐿𝐴))
5440, 53elind 3760 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑦 ∈ (𝐷 ∩ (𝑦𝐿𝐴)))
5511, 12, 13, 26, 24, 44, 48, 52, 54tglineineq 25338 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑧 = 𝑦)
5655, 43eqnetrd 2849 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑧𝐴)
5756necomd 2837 . . . . . . . . . 10 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝐴𝑧)
58 simp-4r 803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑥𝐷)
5911, 13, 12, 25, 23, 58tglnpt 25244 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑥𝑃)
6059ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑥𝑃)
61 simp-7r 809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑥𝐷)
62 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) → 𝑑𝑃)
6362ad4antr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑑𝑃)
6463ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑑𝑃)
65 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) → 𝐵𝑂𝑑)
6665ad7antr 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝐵𝑂𝑑)
6711, 22, 12, 14, 13, 24, 26, 33, 64, 66oppne1 25433 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → ¬ 𝐵𝐷)
68 nelne2 2879 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷) → 𝑥𝐵)
6961, 67, 68syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑥𝐵)
7011, 12, 13, 26, 60, 33, 69tgelrnln 25325 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → (𝑥𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
7111, 12, 13, 26, 60, 33, 69tglinerflx2 25329 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝐵 ∈ (𝑥𝐿𝐵))
72 nelne1 2878 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ (𝑥𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐵𝐷) → (𝑥𝐿𝐵) ≠ 𝐷)
7371, 67, 72syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → (𝑥𝐿𝐵) ≠ 𝐷)
7473necomd 2837 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝐷 ≠ (𝑥𝐿𝐵))
75 simplrl 796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵))
7611, 12, 13, 26, 60, 33, 49, 69, 75btwnlng1 25314 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐿𝐵))
7736, 76elind 3760 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑧 ∈ (𝐷 ∩ (𝑥𝐿𝐵)))
7811, 12, 13, 26, 60, 33, 69tglinerflx1 25328 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑥 ∈ (𝑥𝐿𝐵))
7961, 78elind 3760 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑥 ∈ (𝐷 ∩ (𝑥𝐿𝐵)))
8011, 12, 13, 26, 24, 70, 74, 77, 79tglineineq 25338 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑧 = 𝑥)
8180, 69eqnetrd 2849 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑧𝐵)
8281necomd 2837 . . . . . . . . . 10 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝐵𝑧)
83 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) → 𝐴𝑂𝑑)
8483ad7antr 770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝐴𝑂𝑑)
8511, 22, 12, 14, 13, 24, 26, 30, 64, 84oppne2 25434 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → ¬ 𝑑𝐷)
86 nelne2 2879 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝐷 ∧ ¬ 𝑑𝐷) → 𝑧𝑑)
8736, 85, 86syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑧𝑑)
8887necomd 2837 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑑𝑧)
89 simpllr 795 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
9089ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
9111, 22, 12, 26, 30, 60, 64, 90tgbtwncom 25183 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑥 ∈ (𝑑𝐼𝐴))
9280, 91eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑑𝐼𝐴))
93 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
9493ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
9511, 22, 12, 26, 33, 39, 64, 94tgbtwncom 25183 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑦 ∈ (𝑑𝐼𝐵))
9655, 95eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑑𝐼𝐵))
9711, 12, 26, 64, 49, 30, 33, 88, 92, 96tgbtwnconn2 25271 . . . . . . . . . 10 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → (𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑧𝐼𝐴)))
9857, 82, 973jca 1235 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → (𝐴𝑧𝐵𝑧 ∧ (𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑧𝐼𝐴))))
9911, 12, 27, 30, 33, 49, 26ishlg 25297 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → (𝐴((hlG‘𝐺)‘𝑧)𝐵 ↔ (𝐴𝑧𝐵𝑧 ∧ (𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑧𝐼𝐴)))))
10098, 99mpbird 246 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝐴((hlG‘𝐺)‘𝑧)𝐵)
10111, 22, 12, 14, 13, 24, 26, 27, 30, 33, 34, 35, 36, 100opphl 25446 . . . . . . 7 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝐵𝑂𝐶)
10223ad3antrrr 762 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
10325ad3antrrr 762 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
104 simpllr 795 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑧𝑃)
10532ad3antrrr 762 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝐵𝑃)
1061ad10antr 776 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝐶𝑃)
10729ad3antrrr 762 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝐴𝑃)
1083ad10antr 776 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝐴𝑂𝐶)
10937ad3antrrr 762 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑦𝐷)
11038ad3antrrr 762 . . . . . . . . . 10 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑦𝑃)
111 simplrr 797 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))
112 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → ¬ 𝑧𝐷)
113 nelne2 2879 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐷 ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑦𝑧)
114109, 112, 113syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑦𝑧)
115114necomd 2837 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑧𝑦)
11611, 22, 12, 103, 110, 104, 107, 111, 115tgbtwnne 25185 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑦𝐴)
11711, 12, 27, 110, 107, 104, 103, 107, 111, 116, 115btwnhl1 25307 . . . . . . . . . 10 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑧((hlG‘𝐺)‘𝑦)𝐴)
11811, 12, 27, 104, 107, 110, 103, 117hlcomd 25299 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝐴((hlG‘𝐺)‘𝑦)𝑧)
11911, 22, 12, 14, 13, 102, 103, 27, 107, 104, 106, 108, 109, 118opphl 25446 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑧𝑂𝐶)
12058ad3antrrr 762 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑥𝐷)
12159ad3antrrr 762 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑥𝑃)
122 simplrl 796 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵))
123 nelne2 2879 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐷 ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑥𝑧)
124120, 112, 123syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑥𝑧)
125124necomd 2837 . . . . . . . . . 10 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑧𝑥)
12611, 22, 12, 103, 121, 104, 105, 122, 125tgbtwnne 25185 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑥𝐵)
12711, 12, 27, 121, 105, 104, 103, 107, 122, 126, 125btwnhl1 25307 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑧((hlG‘𝐺)‘𝑥)𝐵)
12811, 22, 12, 14, 13, 102, 103, 27, 104, 105, 106, 119, 120, 127opphl 25446 . . . . . . 7 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝐵𝑂𝐶)
129101, 128pm2.61dan 828 . . . . . 6 ((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) → 𝐵𝑂𝐶)
13011, 22, 12, 25, 29, 32, 63, 59, 38, 89, 93axtgpasch 25166 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴)))
131129, 130r19.29a 3060 . . . . 5 ((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐵𝑂𝐶)
13211, 22, 12, 14, 31, 62islnopp 25431 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) → (𝐵𝑂𝑑 ↔ ((¬ 𝐵𝐷 ∧ ¬ 𝑑𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑))))
13365, 132mpbid 221 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) → ((¬ 𝐵𝐷 ∧ ¬ 𝑑𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑)))
134133simprd 478 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
135 eleq1 2676 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑦 → (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑) ↔ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)))
136135cbvrexv 3148 . . . . . . 7 (∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑) ↔ ∃𝑦𝐷 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
137134, 136sylib 207 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) → ∃𝑦𝐷 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
138137ad2antrr 758 . . . . 5 ((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) → ∃𝑦𝐷 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
139131, 138r19.29a 3060 . . . 4 ((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) → 𝐵𝑂𝐶)
14011, 22, 12, 14, 28, 62islnopp 25431 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) → (𝐴𝑂𝑑 ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝑑𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑))))
14183, 140mpbid 221 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) → ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝑑𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑)))
142141simprd 478 . . . . 5 ((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
143 eleq1 2676 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑥 → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)))
144143cbvrexv 3148 . . . . 5 (∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑) ↔ ∃𝑥𝐷 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
145142, 144sylib 207 . . . 4 ((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) → ∃𝑥𝐷 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
146139, 145r19.29a 3060 . . 3 ((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) → 𝐵𝑂𝐶)
14719biimpa 500 . . 3 ((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → ∃𝑑𝑃 (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑))
148146, 147r19.29a 3060 . 2 ((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐵𝑂𝐶)
14921, 148impbida 873 1 (𝜑 → (𝐵𝑂𝐶𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wrex 2897  cdif 3537   class class class wbr 4583  {copab 4642  ran crn 5039  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  distcds 15777  TarskiGcstrkg 25129  Itvcitv 25135  LineGclng 25136  hlGchlg 25295  hpGchpg 25449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-trkgc 25147  df-trkgb 25148  df-trkgcb 25149  df-trkgld 25151  df-trkg 25152  df-cgrg 25206  df-leg 25278  df-hlg 25296  df-mir 25348  df-rag 25389  df-perpg 25391  df-hpg 25450
This theorem is referenced by:  lnoppnhpg  25456  hpgtr  25460  colhp  25462  lnperpex  25495  trgcopyeulem  25497
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