Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  colhp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem colhp 25462
 Description: Half-plane relation for colinear points. Theorem 9.19 of [Schwabhauser] p. 73. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpgid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a (𝜑𝐴𝑃)
hpgid.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
colopp.b (𝜑𝐵𝑃)
colopp.p (𝜑𝐶𝐷)
colopp.1 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
colhp.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
colhp (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ (𝐴(𝐾𝐶)𝐵 ∧ ¬ 𝐴𝐷)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡   𝑡,𝐶   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝐴,𝑎,𝑏   𝐶,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑡,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem colhp
StepHypRef Expression
1 ancom 465 . . 3 ((𝐴(𝐾𝐶)𝐵 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ↔ (¬ 𝐴𝐷𝐴(𝐾𝐶)𝐵))
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ((𝐴(𝐾𝐶)𝐵 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ↔ (¬ 𝐴𝐷𝐴(𝐾𝐶)𝐵)))
3 hpgid.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 hpgid.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 hpgid.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 hpgid.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 hpgid.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
98adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
10 colopp.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑃)
1110adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐵𝑃)
12 hpgid.o . . . . 5 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
13 eqid 2610 . . . . . . 7 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
14 eqid 2610 . . . . . . 7 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
15 colopp.p . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝐷)
163, 5, 4, 6, 8, 15tglnpt 25244 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑃)
17 eqid 2610 . . . . . . 7 ((pInvG‘𝐺)‘𝐶) = ((pInvG‘𝐺)‘𝐶)
18 hpgid.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑃)
193, 13, 4, 5, 14, 6, 16, 17, 18mircl 25356 . . . . . 6 (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝑃)
2019adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝑃)
2115adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶𝐷)
2216adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶𝑃)
2318adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐴𝑃)
24 nelne2 2879 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶𝐷 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶𝐴)
2515, 24sylan 487 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶𝐴)
2625necomd 2837 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐴𝐶)
2726neneqd 2787 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ¬ 𝐴 = 𝐶)
28 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ¬ 𝐴𝐷)
293, 13, 4, 5, 14, 6, 16, 17, 18mirmir 25357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) = 𝐴)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) = 𝐴)
316adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
328adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
3315adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → 𝐶𝐷)
34 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)
353, 13, 4, 5, 14, 31, 17, 32, 33, 34mirln 25371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∈ 𝐷)
3630, 35eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → 𝐴𝐷)
3736stoic1a 1688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)
38 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 = 𝐶) → 𝑡 = 𝐶)
39 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 = 𝐶) → (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) = (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
4038, 39eleq12d 2682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 = 𝐶) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴))))
413, 13, 4, 5, 14, 6, 16, 17, 18mirbtwn 25353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐶 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)𝐼𝐴))
423, 13, 4, 6, 19, 16, 18, 41tgbtwncom 25183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
4315, 40, 42rspcedvd 3289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
4443adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
4528, 37, 44jca31 555 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴))))
463, 13, 4, 12, 23, 20islnopp 25431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐴𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))))
4745, 46mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐴𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴))
483, 13, 4, 12, 5, 9, 7, 23, 20, 47oppne3 25435 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐴 ≠ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴))
4942adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
503, 4, 5, 7, 23, 20, 22, 48, 49btwnlng1 25314 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
5150orcd 406 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∨ 𝐴 = (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
523, 5, 4, 7, 23, 20, 22, 51colcom 25253 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐶 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)𝐿𝐴) ∨ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) = 𝐴))
533, 5, 4, 7, 20, 23, 22, 52colrot1 25254 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ((((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
5453orcomd 402 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐴 = 𝐶 ∨ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ (𝐴𝐿𝐶)))
5554ord 391 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (¬ 𝐴 = 𝐶 → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ (𝐴𝐿𝐶)))
5627, 55mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ (𝐴𝐿𝐶))
57 colopp.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
583, 5, 4, 6, 18, 10, 16, 57colrot1 25254 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
593, 5, 4, 6, 10, 16, 18, 58colcom 25253 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
6059adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
613, 4, 5, 7, 20, 23, 22, 11, 56, 60coltr 25342 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ((((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ (𝐶𝐿𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
623, 5, 4, 7, 22, 11, 20, 61colrot1 25254 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐿(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∨ 𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
633, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 20, 21, 62colopp 25461 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐵𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ↔ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)))
643, 4, 5, 12, 7, 9, 23, 11, 20, 47lnopp2hpgb 25455 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐵𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ↔ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))
65 colhp.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (hlG‘𝐺)
66 simpll 786 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝜑)
6766, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐵𝑃)
6866, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐴𝑃)
6966, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐶𝑃)
7066, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7166, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐶𝐷)
72 simprr 792 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → ¬ 𝐵𝐷)
73 nelne2 2879 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷) → 𝐶𝐵)
7473necomd 2837 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷) → 𝐵𝐶)
7571, 72, 74syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐵𝐶)
7626adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐴𝐶)
77 simprl 790 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
783, 13, 4, 5, 14, 70, 17, 65, 69, 67, 68, 68, 75, 76, 77mirhl2 25376 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐵(𝐾𝐶)𝐴)
793, 4, 65, 67, 68, 69, 70, 78hlcomd 25299 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
8028adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → ¬ 𝐴𝐷)
8179, 80jca 553 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → (𝐴(𝐾𝐶)𝐵 ∧ ¬ 𝐴𝐷))
82813adantr3 1215 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)) → (𝐴(𝐾𝐶)𝐵 ∧ ¬ 𝐴𝐷))
8382simpld 474 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)) → 𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
8423adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → 𝐴𝑃)
8511adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → 𝐵𝑃)
8620adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝑃)
877adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8816ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → 𝐶𝑃)
89 simpr 476 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → 𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
9042ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
913, 4, 65, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90btwnhl 25309 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
923, 4, 65, 84, 85, 88, 87, 5, 89hlln 25302 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
9392adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
9487adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9585adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐵𝑃)
9688adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐶𝑃)
9784adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐴𝑃)
9889adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
993, 4, 65, 97, 95, 96, 94, 98hlne2 25301 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐵𝐶)
1009ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
101 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐵𝐷)
10215ad3antrrr 762 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐶𝐷)
1033, 4, 5, 94, 95, 96, 99, 99, 100, 101, 102tglinethru 25331 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐷 = (𝐵𝐿𝐶))
10493, 103eleqtrrd 2691 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐴𝐷)
10528ad2antrr 758 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → ¬ 𝐴𝐷)
106104, 105pm2.65da 598 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → ¬ 𝐵𝐷)
10737adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)
10891, 106, 1073jca 1235 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷))
10983, 108impbida 873 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ((𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) ↔ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵))
11063, 64, 1093bitr3d 297 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵𝐴(𝐾𝐶)𝐵))
111110pm5.32da 671 . 2 (𝜑 → ((¬ 𝐴𝐷𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ↔ (¬ 𝐴𝐷𝐴(𝐾𝐶)𝐵)))
112 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
113112adantrl 748 . . 3 ((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)) → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
1146adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
1158adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
11618adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐴𝑃)
11710adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐵𝑃)
1183, 4, 5, 12, 114, 115, 116, 117, 112hpgne1 25453 . . . 4 ((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → ¬ 𝐴𝐷)
119118, 112jca 553 . . 3 ((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → (¬ 𝐴𝐷𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))
120113, 119impbida 873 . 2 (𝜑 → ((¬ 𝐴𝐷𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ↔ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))
1212, 111, 1203bitr2rd 296 1 (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ (𝐴(𝐾𝐶)𝐵 ∧ ¬ 𝐴𝐷)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537   class class class wbr 4583  {copab 4642  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  distcds 15777  TarskiGcstrkg 25129  Itvcitv 25135  LineGclng 25136  hlGchlg 25295  pInvGcmir 25347  hpGchpg 25449 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-trkgc 25147  df-trkgb 25148  df-trkgcb 25149  df-trkgld 25151  df-trkg 25152  df-cgrg 25206  df-leg 25278  df-hlg 25296  df-mir 25348  df-rag 25389  df-perpg 25391  df-hpg 25450 This theorem is referenced by:  hphl  25463  trgcopy  25496
 Copyright terms: Public domain W3C validator