Theorem hpgtr 25460

Description: The half-plane relation is transitive. Theorem 9.13 of [Schwabhauser] p. 72. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpgid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgid.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
hpgcom.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
hpgcom.1	⊢ (𝜑 → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
hpgtr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hpgtr.1	⊢ (𝜑 → 𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hpgtr	⊢ (𝜑 → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡   𝐶,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hpgtr

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpgcom.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
2		hpgid.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		hpgid.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		hpgid.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		hpgid.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
6		hpgid.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		hpgid.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
8		hpgid.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		hpgcom.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	hpgbr 25452	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)))
11	1, 10	mpbid 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐))
12		simprl 790	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐴𝑂𝑐)
13		hpgtr.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)
14	13	ad2antrr 758	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)
15	6	ad2antrr 758	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
16	7	ad2antrr 758	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
17	9	ad2antrr 758	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
18		hpgtr.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
19	18	ad2antrr 758	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
20		simplr 788	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝑐 ∈ 𝑃)
21		simprr 792	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐵𝑂𝑐)
22	2, 3, 4, 5, 15, 16, 17, 19, 20, 21	lnopp2hpgb 25455	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → (𝐶𝑂𝑐 ↔ 𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶))
23	14, 22	mpbird 246	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐶𝑂𝑐)
24	12, 23	jca 553	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐶𝑂𝑐))
25	24	ex 449	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → ((𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐) → (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐶𝑂𝑐)))
26	25	reximdva 3000	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐶𝑂𝑐)))
27	11, 26	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐶𝑂𝑐))
28	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18	hpgbr 25452	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐶𝑂𝑐)))
29	27, 28	mpbird 246	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537   class class class wbr 4583  {copab 4642  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  TarskiGcstrkg 25129  Itvcitv 25135  LineGclng 25136  hpGchpg 25449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-trkgc 25147  df-trkgb 25148  df-trkgcb 25149  df-trkgld 25151  df-trkg 25152  df-cgrg 25206  df-leg 25278  df-hlg 25296  df-mir 25348  df-rag 25389  df-perpg 25391  df-hpg 25450

This theorem is referenced by:  trgcopy  25496  trgcopyeulem  25497  acopyeu  25525