Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmisfree Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmisfree 20000
 Description: A module has a basis iff it is isomorphic to a free module. In settings where isomorphic objects are not distinguished, it is common to define "free module" as any module with a basis; thus for instance lbsex 18986 might be described as "every vector space is free." (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmisfree.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lmisfree.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lmisfree (𝑊 ∈ LMod → (𝐽 ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 𝑊𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐽   𝑘,𝑊

Proof of Theorem lmisfree
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3890 . . 3 (𝐽 ≠ ∅ ↔ ∃𝑗 𝑗𝐽)
2 vex 3176 . . . . . . . 8 𝑗 ∈ V
32enref 7874 . . . . . . 7 𝑗𝑗
4 lmisfree.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5 lmisfree.j . . . . . . . 8 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
64, 5lbslcic 19999 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑗𝐽𝑗𝑗) → 𝑊𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑗))
73, 6mp3an3 1405 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑗𝐽) → 𝑊𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑗))
8 oveq2 6557 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹 freeLMod 𝑘) = (𝐹 freeLMod 𝑗))
98breq2d 4595 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝑊𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) ↔ 𝑊𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑗)))
102, 9spcev 3273 . . . . . 6 (𝑊𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑗) → ∃𝑘 𝑊𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘))
117, 10syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑗𝐽) → ∃𝑘 𝑊𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘))
1211ex 449 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → (𝑗𝐽 → ∃𝑘 𝑊𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘)))
1312exlimdv 1848 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (∃𝑗 𝑗𝐽 → ∃𝑘 𝑊𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘)))
141, 13syl5bi 231 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (𝐽 ≠ ∅ → ∃𝑘 𝑊𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘)))
15 lmicsym 18893 . . . 4 (𝑊𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) → (𝐹 freeLMod 𝑘) ≃𝑚 𝑊)
16 lmiclcl 18891 . . . . 5 (𝑊𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) → 𝑊 ∈ LMod)
174lmodring 18694 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
18 vex 3176 . . . . . . 7 𝑘 ∈ V
19 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝐹 freeLMod 𝑘) = (𝐹 freeLMod 𝑘)
20 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝐹 unitVec 𝑘) = (𝐹 unitVec 𝑘)
21 eqid 2610 . . . . . . . 8 (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)) = (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘))
2219, 20, 21frlmlbs 19955 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ V) → ran (𝐹 unitVec 𝑘) ∈ (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)))
2317, 18, 22sylancl 693 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → ran (𝐹 unitVec 𝑘) ∈ (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)))
24 ne0i 3880 . . . . . 6 (ran (𝐹 unitVec 𝑘) ∈ (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)) → (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)) ≠ ∅)
2523, 24syl 17 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)) ≠ ∅)
2616, 25syl 17 . . . 4 (𝑊𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) → (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)) ≠ ∅)
2721, 5lmiclbs 19995 . . . 4 ((𝐹 freeLMod 𝑘) ≃𝑚 𝑊 → ((LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)) ≠ ∅ → 𝐽 ≠ ∅))
2815, 26, 27sylc 63 . . 3 (𝑊𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) → 𝐽 ≠ ∅)
2928exlimiv 1845 . 2 (∃𝑘 𝑊𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) → 𝐽 ≠ ∅)
3014, 29impbid1 214 1 (𝑊 ∈ LMod → (𝐽 ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 𝑊𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ≈ cen 7838  Scalarcsca 15771  Ringcrg 18370  LModclmod 18686   ≃𝑚 clmic 18842  LBasisclbs 18895   freeLMod cfrlm 19909   unitVec cuvc 19940 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lmhm 18843  df-lmim 18844  df-lmic 18845  df-lbs 18896  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-nzr 19079  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-uvc 19941  df-lindf 19964  df-linds 19965 This theorem is referenced by:  lvecisfrlm  20001
 Copyright terms: Public domain W3C validator