Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmisfree Structured version   Unicode version

Theorem lmisfree 19004
 Description: A module has a basis iff it is isomorphic to a free module. In settings where isomorphic objects are not distinguished, it is common to define "free module" as any module with a basis; thus for instance lbsex 17938 might be described as "every vector space is free." (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmisfree.j LBasis
lmisfree.f Scalar
Assertion
Ref Expression
lmisfree 𝑚 freeLMod
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem lmisfree
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3803 . . 3
2 vex 3112 . . . . . . . 8
32enref 7567 . . . . . . 7
4 lmisfree.f . . . . . . . 8 Scalar
5 lmisfree.j . . . . . . . 8 LBasis
64, 5lbslcic 19003 . . . . . . 7 𝑚 freeLMod
73, 6mp3an3 1313 . . . . . 6 𝑚 freeLMod
8 oveq2 6304 . . . . . . . 8 freeLMod freeLMod
98breq2d 4468 . . . . . . 7 𝑚 freeLMod 𝑚 freeLMod
102, 9spcev 3201 . . . . . 6 𝑚 freeLMod 𝑚 freeLMod
117, 10syl 16 . . . . 5 𝑚 freeLMod
1211ex 434 . . . 4 𝑚 freeLMod
1312exlimdv 1725 . . 3 𝑚 freeLMod
141, 13syl5bi 217 . 2 𝑚 freeLMod
15 lmicsym 17845 . . . 4 𝑚 freeLMod freeLMod 𝑚
16 lmiclcl 17843 . . . . 5 𝑚 freeLMod
174lmodring 17647 . . . . . . 7
18 vex 3112 . . . . . . 7
19 eqid 2457 . . . . . . . 8 freeLMod freeLMod
20 eqid 2457 . . . . . . . 8 unitVec unitVec
21 eqid 2457 . . . . . . . 8 LBasis freeLMod LBasis freeLMod
2219, 20, 21frlmlbs 18958 . . . . . . 7 unitVec LBasis freeLMod
2317, 18, 22sylancl 662 . . . . . 6 unitVec LBasis freeLMod
24 ne0i 3799 . . . . . 6 unitVec LBasis freeLMod LBasis freeLMod
2523, 24syl 16 . . . . 5 LBasis freeLMod
2616, 25syl 16 . . . 4 𝑚 freeLMod LBasis freeLMod
2721, 5lmiclbs 18999 . . . 4 freeLMod 𝑚 LBasis freeLMod
2815, 26, 27sylc 60 . . 3 𝑚 freeLMod
2928exlimiv 1723 . 2 𝑚 freeLMod
3014, 29impbid1 203 1 𝑚 freeLMod
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395  wex 1613   wcel 1819   wne 2652  cvv 3109  c0 3793   class class class wbr 4456   crn 5009  cfv 5594  (class class class)co 6296   cen 7532  Scalarcsca 14715  crg 17325  clmod 17639   𝑚 clmic 17794  LBasisclbs 17847   freeLMod cfrlm 18904   unitVec cuvc 18940 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-hom 14736  df-cco 14737  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-prds 14865  df-pws 14867  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-subrg 17554  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-lmhm 17795  df-lmim 17796  df-lmic 17797  df-lbs 17848  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-nzr 18033  df-dsmm 18890  df-frlm 18905  df-uvc 18941  df-lindf 18968  df-linds 18969 This theorem is referenced by:  lvecisfrlm  19005
 Copyright terms: Public domain W3C validator