MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmisfree Structured version   Unicode version

Theorem lmisfree 19004
Description: A module has a basis iff it is isomorphic to a free module. In settings where isomorphic objects are not distinguished, it is common to define "free module" as any module with a basis; thus for instance lbsex 17938 might be described as "every vector space is free." (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmisfree.j  |-  J  =  (LBasis `  W )
lmisfree.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
Assertion
Ref Expression
lmisfree  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( J  =/=  (/)  <->  E. k  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  k ) ) )
Distinct variable groups:    k, F    k, J    k, W

Proof of Theorem lmisfree
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3803 . . 3  |-  ( J  =/=  (/)  <->  E. j  j  e.  J )
2 vex 3112 . . . . . . . 8  |-  j  e. 
_V
32enref 7567 . . . . . . 7  |-  j  ~~  j
4 lmisfree.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (Scalar `  W )
5 lmisfree.j . . . . . . . 8  |-  J  =  (LBasis `  W )
64, 5lbslcic 19003 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  j  e.  J  /\  j  ~~  j )  ->  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  j ) )
73, 6mp3an3 1313 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  j  e.  J )  ->  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  j ) )
8 oveq2 6304 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  ( F freeLMod  k )  =  ( F freeLMod  j ) )
98breq2d 4468 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  ( W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  k )  <->  W 
~=ph𝑚  ( F freeLMod  j ) ) )
102, 9spcev 3201 . . . . . 6  |-  ( W 
~=ph𝑚  ( F freeLMod  j )  ->  E. k  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  k ) )
117, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  j  e.  J )  ->  E. k  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  k )
)
1211ex 434 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( j  e.  J  ->  E. k  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  k )
) )
1312exlimdv 1725 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( E. j  j  e.  J  ->  E. k  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  k ) ) )
141, 13syl5bi 217 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( J  =/=  (/)  ->  E. k  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  k )
) )
15 lmicsym 17845 . . . 4  |-  ( W 
~=ph𝑚  ( F freeLMod  k )  -> 
( F freeLMod  k )  ~=ph𝑚  W )
16 lmiclcl 17843 . . . . 5  |-  ( W 
~=ph𝑚  ( F freeLMod  k )  ->  W  e.  LMod )
174lmodring 17647 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
18 vex 3112 . . . . . . 7  |-  k  e. 
_V
19 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( F freeLMod  k )  =  ( F freeLMod  k )
20 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( F unitVec 
k )  =  ( F unitVec  k )
21 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  (LBasis `  ( F freeLMod  k ) )  =  (LBasis `  ( F freeLMod  k ) )
2219, 20, 21frlmlbs 18958 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  Ring  /\  k  e.  _V )  ->  ran  ( F unitVec  k )  e.  (LBasis `  ( F freeLMod  k ) ) )
2317, 18, 22sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  ran  ( F unitVec  k )  e.  (LBasis `  ( F freeLMod  k )
) )
24 ne0i 3799 . . . . . 6  |-  ( ran  ( F unitVec  k )  e.  (LBasis `  ( F freeLMod  k ) )  ->  (LBasis `  ( F freeLMod  k )
)  =/=  (/) )
2523, 24syl 16 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  (LBasis `  ( F freeLMod  k ) )  =/=  (/) )
2616, 25syl 16 . . . 4  |-  ( W 
~=ph𝑚  ( F freeLMod  k )  -> 
(LBasis `  ( F freeLMod  k ) )  =/=  (/) )
2721, 5lmiclbs 18999 . . . 4  |-  ( ( F freeLMod  k )  ~=ph𝑚  W  -> 
( (LBasis `  ( F freeLMod  k ) )  =/=  (/)  ->  J  =/=  (/) ) )
2815, 26, 27sylc 60 . . 3  |-  ( W 
~=ph𝑚  ( F freeLMod  k )  ->  J  =/=  (/) )
2928exlimiv 1723 . 2  |-  ( E. k  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  k )  ->  J  =/=  (/) )
3014, 29impbid1 203 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( J  =/=  (/)  <->  E. k  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  k ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819    =/= wne 2652   _Vcvv 3109   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   ran crn 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ~~ cen 7532  Scalarcsca 14715   Ringcrg 17325   LModclmod 17639    ~=ph𝑚 clmic 17794  LBasisclbs 17847   freeLMod cfrlm 18904   unitVec cuvc 18940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-hom 14736  df-cco 14737  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-prds 14865  df-pws 14867  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-subrg 17554  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-lmhm 17795  df-lmim 17796  df-lmic 17797  df-lbs 17848  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-nzr 18033  df-dsmm 18890  df-frlm 18905  df-uvc 18941  df-lindf 18968  df-linds 18969
This theorem is referenced by:  lvecisfrlm  19005
  Copyright terms: Public domain W3C validator