Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmclim 22909
 Description: Relate a limit on the metric space of complex numbers to our complex number limit notation. (Contributed by NM, 9-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmclim.2 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
lmclim.3 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
lmclim ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐹𝑃)))

Proof of Theorem lmclim
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3anass 1035 . . 3 ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥))))
2 lmclim.3 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ𝑀)
32uztrn2 11581 . . . . . . . . . 10 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
4 3anass 1035 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥)))
5 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
65sselda 3568 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
76biantrurd 528 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥))))
8 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
98cnmetdval 22384 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → ((𝐹𝑘)(abs ∘ − )𝑃) = (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑃)))
109ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((𝐹𝑘)(abs ∘ − )𝑃) = (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑃)))
1110breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (((𝐹𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑃)) < 𝑥))
1211pm5.32da 671 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℂ → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
1312ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
147, 13bitr3d 269 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
154, 14syl5bb 271 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
163, 15sylan2 490 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
1716anassrs 678 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
1817ralbidva 2968 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
1918rexbidva 3031 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
2019ralbidv 2969 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
2120pm5.32da 671 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → ((𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑃)) < 𝑥))))
2221anbi2d 736 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥))) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))))
231, 22syl5bb 271 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))))
24 lmclim.2 . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
2524cnfldtopn 22395 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
26 cnxmet 22386 . . . 4 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
2726a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
28 simpl 472 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → 𝑀 ∈ ℤ)
2925, 27, 2, 28lmmbr3 22866 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥))))
30 simpll 786 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
31 simpr 476 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
32 eqidd 2611 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
332, 30, 31, 32clim2 14083 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) → (𝐹𝑃 ↔ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑃)) < 𝑥))))
3433pm5.32da 671 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐹𝑃) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))))
3523, 29, 343bitr4d 299 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐹𝑃)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  dom cdm 5038   ∘ ccom 5042  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑pm cpm 7745  ℂcc 9813   < clt 9953   − cmin 10145  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ℝ+crp 11708  abscabs 13822   ⇝ cli 14063  TopOpenctopn 15905  ∞Metcxmt 19552  ℂfldccnfld 19567  ⇝𝑡clm 20840 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-lm 20843 This theorem is referenced by:  lmclimf  22910
 Copyright terms: Public domain W3C validator