Theorem lmclim 22909

Description: Relate a limit on the metric space of complex numbers to our complex number limit notation. (Contributed by NM, 9-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmclim.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
lmclim.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lmclim	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ 𝑃)))

Proof of Theorem lmclim

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anass 1035	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥))))
2		lmclim.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	uztrn2 11581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
4		3anass 1035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥)))
5		simplr 788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
6	5	sselda 3568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
7	6	biantrurd 528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥))))
8		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
9	8	cnmetdval 22384	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)))
10	9	ancoms 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)))
11	10	breq1d 4593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥))
12	11	pm5.32da 671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
13	12	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
14	7, 13	bitr3d 269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
15	4, 14	syl5bb 271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
16	3, 15	sylan2 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
17	16	anassrs 678	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
18	17	ralbidva 2968	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
19	18	rexbidva 3031	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
20	19	ralbidv 2969	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
21	20	pm5.32da 671	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → ((𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥))))
22	21	anbi2d 736	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥))) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))))
23	1, 22	syl5bb 271	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))))
24		lmclim.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
25	24	cnfldtopn 22395	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
26		cnxmet 22386	. . . 4 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
28		simpl 472	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → 𝑀 ∈ ℤ)
29	25, 27, 2, 28	lmmbr3 22866	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥))))
30		simpll 786	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
31		simpr 476	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
32		eqidd 2611	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
33	2, 30, 31, 32	clim2 14083	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) → (𝐹 ⇝ 𝑃 ↔ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥))))
34	33	pm5.32da 671	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ 𝑃) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))))
35	23, 29, 34	3bitr4d 299	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  dom cdm 5038   ∘ ccom 5042  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑_pm cpm 7745  ℂcc 9813   < clt 9953   − cmin 10145  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ℝ⁺crp 11708  abscabs 13822   ⇝ cli 14063  TopOpenctopn 15905  ∞Metcxmt 19552  ℂ_fldccnfld 19567  ⇝_𝑡clm 20840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-lm 20843

This theorem is referenced by:  lmclimf  22910