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Theorem lmclim 20825
Description: Relate a limit on the metric space of complex numbers to our complex number limit notation. (Contributed by NM, 9-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmclim.2  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
lmclim.3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
lmclim  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  F  ~~>  P ) ) )

Proof of Theorem lmclim
Dummy variables  j 
k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3anass 969 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( CC 
^pm  CC )  /\  P  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )
)  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )
) ) )
2 lmclim.3 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
32uztrn2 10890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
4 3anass 969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )
) )
5 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  P  e.  CC )  ->  Z  C_  dom  F )
65sselda 3368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  P  e.  CC )  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  dom  F )
76biantrurd 508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  P  e.  CC )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )
) ) )
8 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
98cnmetdval 20362 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  P  e.  CC )  ->  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  =  ( abs `  ( ( F `  k )  -  P
) ) )
109ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  CC  /\  ( F `  k )  e.  CC )  -> 
( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  =  ( abs `  ( ( F `  k )  -  P
) ) )
1110breq1d 4314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  CC  /\  ( F `  k )  e.  CC )  -> 
( ( ( F `
 k ) ( abs  o.  -  ) P )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  P ) )  <  x ) )
1211pm5.32da 641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  CC  ->  (
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )  <->  ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  P ) )  <  x ) ) )
1312ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  P  e.  CC )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )  <->  ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  P ) )  <  x ) ) )
147, 13bitr3d 255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  P  e.  CC )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  e.  dom  F  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs  o.  -  ) P )  <  x
) )  <->  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  P
) )  <  x
) ) )
154, 14syl5bb 257 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  P  e.  CC )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )  <->  ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  P ) )  <  x ) ) )
163, 15sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  P  e.  CC )  /\  (
j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  CC  /\  (
( F `  k
) ( abs  o.  -  ) P )  <  x )  <->  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  P
) )  <  x
) ) )
1716anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_ 
dom  F )  /\  P  e.  CC )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )  <->  ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  P ) )  <  x ) ) )
1817ralbidva 2743 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  P  e.  CC )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  P ) )  < 
x ) ) )
1918rexbidva 2744 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  P  e.  CC )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  P ) )  < 
x ) ) )
2019ralbidv 2747 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  P  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  P ) )  <  x ) ) )
2120pm5.32da 641 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  ->  ( ( P  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )
)  <->  ( P  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  P ) )  <  x ) ) ) )
2221anbi2d 703 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  ->  ( ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )
) )  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  P ) )  <  x ) ) ) ) )
231, 22syl5bb 257 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  ->  ( ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  P  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )
)  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  P ) )  <  x ) ) ) ) )
24 lmclim.2 . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
2524cnfldtopn 20373 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
26 cnxmet 20364 . . . 4  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
2726a1i 11 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
28 simpl 457 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  ->  M  e.  ZZ )
2925, 27, 2, 28lmmbr3 20783 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  P  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  CC  /\  (
( F `  k
) ( abs  o.  -  ) P )  <  x ) ) ) )
30 simpll 753 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  F  e.  ( CC  ^pm  CC )
)  ->  M  e.  ZZ )
31 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  F  e.  ( CC  ^pm  CC )
)  ->  F  e.  ( CC  ^pm  CC ) )
32 eqidd 2444 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  F  e.  ( CC  ^pm  CC ) )  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
332, 30, 31, 32clim2 12994 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  F  e.  ( CC  ^pm  CC )
)  ->  ( F  ~~>  P 
<->  ( P  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  P ) )  < 
x ) ) ) )
3433pm5.32da 641 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  ->  ( ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  F  ~~>  P )  <-> 
( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  P ) )  < 
x ) ) ) ) )
3523, 29, 343bitr4d 285 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  F  ~~>  P ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727   E.wrex 2728    C_ wss 3340   class class class wbr 4304   dom cdm 4852    o. ccom 4856   ` cfv 5430  (class class class)co 6103    ^pm cpm 7227   CCcc 9292    < clt 9430    - cmin 9607   ZZcz 10658   ZZ>=cuz 10873   RR+crp 11003   abscabs 12735    ~~> cli 12974   TopOpenctopn 14372   *Metcxmt 17813  ℂfldccnfld 17830   ~~> tclm 18842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-pm 7229  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-fz 11450  df-seq 11819  df-exp 11878  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-clim 12978  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-starv 14265  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-unif 14273  df-rest 14373  df-topn 14374  df-topgen 14394  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-cnfld 17831  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-lm 18845
This theorem is referenced by:  lmclimf  20826
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