Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2y Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lclkrlem2y 35838
 Description: Lemma for lclkr 35840. Restate the hypotheses for 𝐸 and 𝐺 to say their kernels are closed, in order to eliminate the generating vectors 𝑋 and 𝑌. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2y.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2y.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2y.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2y.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2y.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2y.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2y.p + = (+g𝐷)
lclkrlem2y.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lclkrlem2y.e (𝜑𝐸𝐹)
lclkrlem2y.g (𝜑𝐺𝐹)
lclkrlem2y.le (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿𝐸))) = (𝐿𝐸))
lclkrlem2y.lg (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺))
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2y (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2y
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2y.lg . . 3 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺))
2 lclkrlem2y.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 lclkrlem2y.o . . . 4 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4 lclkrlem2y.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
6 lclkrlem2y.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7 lclkrlem2y.l . . . 4 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8 lclkrlem2y.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
9 lclkrlem2y.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lcfl8a 35810 . . 3 (𝜑 → (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺) ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿𝐺) = ( ‘{𝑦})))
111, 10mpbid 221 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿𝐺) = ( ‘{𝑦}))
12 lclkrlem2y.le . . . . 5 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿𝐸))) = (𝐿𝐸))
13 lclkrlem2y.e . . . . . 6 (𝜑𝐸𝐹)
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13lcfl8a 35810 . . . . 5 (𝜑 → (( ‘( ‘(𝐿𝐸))) = (𝐿𝐸) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿𝐸) = ( ‘{𝑥})))
1512, 14mpbid 221 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿𝐸) = ( ‘{𝑥}))
16 lclkrlem2y.d . . . . . . . 8 𝐷 = (LDual‘𝑈)
17 lclkrlem2y.p . . . . . . . 8 + = (+g𝐷)
1883ad2ant1 1075 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑦})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
19 simp21 1087 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑦})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑈))
20 simp23 1089 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑦})) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑈))
21133ad2ant1 1075 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑦})) → 𝐸𝐹)
2293ad2ant1 1075 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑦})) → 𝐺𝐹)
23 simp22 1088 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑦})) → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑥}))
24 simp3 1056 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑦})) → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑦}))
257, 2, 3, 4, 5, 6, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24lclkrlem2x 35837 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑦})) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
26253exp 1256 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) → ((𝐿𝐺) = ( ‘{𝑦}) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))))
27263expd 1276 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) → ((𝐿𝐸) = ( ‘{𝑥}) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑈) → ((𝐿𝐺) = ( ‘{𝑦}) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))))))
2827rexlimdv 3012 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿𝐸) = ( ‘{𝑥}) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑈) → ((𝐿𝐺) = ( ‘{𝑦}) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺))))))
2915, 28mpd 15 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (Base‘𝑈) → ((𝐿𝐺) = ( ‘{𝑦}) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))))
3029rexlimdv 3012 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿𝐺) = ( ‘{𝑦}) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺))))
3111, 30mpd 15 1 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  LFnlclfn 33362  LKerclk 33390  LDualcld 33428  HLchlt 33655  LHypclh 34288  DVecHcdvh 35385  ocHcoch 35654 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-riotaBAD 33257 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-undef 7286  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-0g 15925  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-oppg 17599  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924  df-lsatoms 33281  df-lshyp 33282  df-lcv 33324  df-lfl 33363  df-lkr 33391  df-ldual 33429  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803  df-lvols 33804  df-lines 33805  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464  df-tgrp 35049  df-tendo 35061  df-edring 35063  df-dveca 35309  df-disoa 35336  df-dvech 35386  df-dib 35446  df-dic 35480  df-dih 35536  df-doch 35655  df-djh 35702 This theorem is referenced by:  lclkrlem2  35839
 Copyright terms: Public domain W3C validator