Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2y Structured version   Unicode version

Theorem lclkrlem2y 34515
Description: Lemma for lclkr 34517. Restate the hypotheses for  E and  G to say their kernels are closed, in order to eliminate the generating vectors  X and  Y. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2y.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lclkrlem2y.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lclkrlem2y.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lclkrlem2y.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lclkrlem2y.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lclkrlem2y.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lclkrlem2y.p  |-  .+  =  ( +g  `  D )
lclkrlem2y.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lclkrlem2y.e  |-  ( ph  ->  E  e.  F )
lclkrlem2y.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
lclkrlem2y.le  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  E
) ) )  =  ( L `  E
) )
lclkrlem2y.lg  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
) )
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2y  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  ( E  .+  G ) ) ) )  =  ( L `  ( E 
.+  G ) ) )

Proof of Theorem lclkrlem2y
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2y.lg . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
) )
2 lclkrlem2y.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 lclkrlem2y.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
4 lclkrlem2y.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 eqid 2400 . . . 4  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
6 lclkrlem2y.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  U )
7 lclkrlem2y.l . . . 4  |-  L  =  (LKer `  U )
8 lclkrlem2y.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9 lclkrlem2y.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lcfl8a 34487 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =  ( L `  G )  <->  E. y  e.  ( Base `  U
) ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { y } ) ) )
111, 10mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  (
Base `  U )
( L `  G
)  =  (  ._|_  `  { y } ) )
12 lclkrlem2y.le . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  E
) ) )  =  ( L `  E
) )
13 lclkrlem2y.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  F )
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13lcfl8a 34487 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  E ) ) )  =  ( L `  E )  <->  E. x  e.  ( Base `  U
) ( L `  E )  =  ( 
._|_  `  { x }
) ) )
1512, 14mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  (
Base `  U )
( L `  E
)  =  (  ._|_  `  { x } ) )
16 lclkrlem2y.d . . . . . . . 8  |-  D  =  (LDual `  U )
17 lclkrlem2y.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  D )
1883ad2ant1 1016 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  U
)  /\  ( L `  E )  =  ( 
._|_  `  { x }
)  /\  y  e.  ( Base `  U )
)  /\  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { y } ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
19 simp21 1028 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  U
)  /\  ( L `  E )  =  ( 
._|_  `  { x }
)  /\  y  e.  ( Base `  U )
)  /\  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { y } ) )  ->  x  e.  ( Base `  U
) )
20 simp23 1030 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  U
)  /\  ( L `  E )  =  ( 
._|_  `  { x }
)  /\  y  e.  ( Base `  U )
)  /\  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { y } ) )  ->  y  e.  ( Base `  U
) )
21133ad2ant1 1016 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  U
)  /\  ( L `  E )  =  ( 
._|_  `  { x }
)  /\  y  e.  ( Base `  U )
)  /\  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { y } ) )  ->  E  e.  F )
2293ad2ant1 1016 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  U
)  /\  ( L `  E )  =  ( 
._|_  `  { x }
)  /\  y  e.  ( Base `  U )
)  /\  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { y } ) )  ->  G  e.  F )
23 simp22 1029 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  U
)  /\  ( L `  E )  =  ( 
._|_  `  { x }
)  /\  y  e.  ( Base `  U )
)  /\  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { y } ) )  ->  ( L `  E )  =  (  ._|_  `  {
x } ) )
24 simp3 997 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  U
)  /\  ( L `  E )  =  ( 
._|_  `  { x }
)  /\  y  e.  ( Base `  U )
)  /\  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { y } ) )  ->  ( L `  G )  =  (  ._|_  `  {
y } ) )
257, 2, 3, 4, 5, 6, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24lclkrlem2x 34514 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  U
)  /\  ( L `  E )  =  ( 
._|_  `  { x }
)  /\  y  e.  ( Base `  U )
)  /\  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { y } ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  ( E  .+  G ) ) ) )  =  ( L `
 ( E  .+  G ) ) )
26253exp 1194 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( Base `  U
)  /\  ( L `  E )  =  ( 
._|_  `  { x }
)  /\  y  e.  ( Base `  U )
)  ->  ( ( L `  G )  =  (  ._|_  `  {
y } )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  ( E  .+  G ) ) ) )  =  ( L `  ( E 
.+  G ) ) ) ) )
27263expd 1212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  U )  ->  ( ( L `  E )  =  ( 
._|_  `  { x }
)  ->  ( y  e.  ( Base `  U
)  ->  ( ( L `  G )  =  (  ._|_  `  {
y } )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  ( E  .+  G ) ) ) )  =  ( L `  ( E 
.+  G ) ) ) ) ) ) )
2827rexlimdv 2891 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( Base `  U
) ( L `  E )  =  ( 
._|_  `  { x }
)  ->  ( y  e.  ( Base `  U
)  ->  ( ( L `  G )  =  (  ._|_  `  {
y } )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  ( E  .+  G ) ) ) )  =  ( L `  ( E 
.+  G ) ) ) ) ) )
2915, 28mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  (
Base `  U )  ->  ( ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { y } )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 ( E  .+  G ) ) ) )  =  ( L `
 ( E  .+  G ) ) ) ) )
3029rexlimdv 2891 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( Base `  U
) ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { y } )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 ( E  .+  G ) ) ) )  =  ( L `
 ( E  .+  G ) ) ) )
3111, 30mpd 15 1  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  ( E  .+  G ) ) ) )  =  ( L `  ( E 
.+  G ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 972    = wceq 1403    e. wcel 1840   E.wrex 2752   {csn 3969   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   Basecbs 14731   +g cplusg 14799  LFnlclfn 32039  LKerclk 32067  LDualcld 32105   HLchlt 32332   LHypclh 32965   DVecHcdvh 34062   ocHcoch 34331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-riotaBAD 31941
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-fal 1409  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-iin 4271  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-of 6475  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-tpos 6910  df-undef 6957  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-fz 11642  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-ress 14738  df-plusg 14812  df-mulr 14813  df-sca 14815  df-vsca 14816  df-0g 14946  df-mre 15090  df-mrc 15091  df-acs 15093  df-preset 15771  df-poset 15789  df-plt 15802  df-lub 15818  df-glb 15819  df-join 15820  df-meet 15821  df-p0 15883  df-p1 15884  df-lat 15890  df-clat 15952  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-submnd 16181  df-grp 16271  df-minusg 16272  df-sbg 16273  df-subg 16412  df-cntz 16569  df-oppg 16595  df-lsm 16870  df-cmn 17014  df-abl 17015  df-mgp 17352  df-ur 17364  df-ring 17410  df-oppr 17482  df-dvdsr 17500  df-unit 17501  df-invr 17531  df-dvr 17542  df-drng 17608  df-lmod 17724  df-lss 17789  df-lsp 17828  df-lvec 17959  df-lsatoms 31958  df-lshyp 31959  df-lcv 32001  df-lfl 32040  df-lkr 32068  df-ldual 32106  df-oposet 32158  df-ol 32160  df-oml 32161  df-covers 32248  df-ats 32249  df-atl 32280  df-cvlat 32304  df-hlat 32333  df-llines 32479  df-lplanes 32480  df-lvols 32481  df-lines 32482  df-psubsp 32484  df-pmap 32485  df-padd 32777  df-lhyp 32969  df-laut 32970  df-ldil 33085  df-ltrn 33086  df-trl 33141  df-tgrp 33726  df-tendo 33738  df-edring 33740  df-dveca 33986  df-disoa 34013  df-dvech 34063  df-dib 34123  df-dic 34157  df-dih 34213  df-doch 34332  df-djh 34379
This theorem is referenced by:  lclkrlem2  34516
  Copyright terms: Public domain W3C validator