Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2x Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lclkrlem2x 35837
 Description: Lemma for lclkr 35840. Eliminate by cases the hypotheses of lclkrlem2u 35834, lclkrlem2u 35834 and lclkrlem2w 35836. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2x.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2x.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2x.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2x.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2x.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2x.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2x.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2x.p + = (+g𝐷)
lclkrlem2x.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lclkrlem2x.x (𝜑𝑋𝑉)
lclkrlem2x.y (𝜑𝑌𝑉)
lclkrlem2x.e (𝜑𝐸𝐹)
lclkrlem2x.g (𝜑𝐺𝐹)
lclkrlem2x.le (𝜑 → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
lclkrlem2x.lg (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2x (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2x
StepHypRef Expression
1 df-ne 2782 . . 3 (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈)) ↔ ¬ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))
2 lclkrlem2x.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
3 eqid 2610 . . . 4 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
4 eqid 2610 . . . 4 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
5 eqid 2610 . . . 4 (.r‘(Scalar‘𝑈)) = (.r‘(Scalar‘𝑈))
6 eqid 2610 . . . 4 (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
7 eqid 2610 . . . 4 (invr‘(Scalar‘𝑈)) = (invr‘(Scalar‘𝑈))
8 eqid 2610 . . . 4 (-g𝑈) = (-g𝑈)
9 lclkrlem2x.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
10 lclkrlem2x.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑈)
11 lclkrlem2x.p . . . 4 + = (+g𝐷)
12 lclkrlem2x.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
1312adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → 𝑋𝑉)
14 lclkrlem2x.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
1514adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → 𝑌𝑉)
16 lclkrlem2x.e . . . . 5 (𝜑𝐸𝐹)
1716adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → 𝐸𝐹)
18 lclkrlem2x.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝐹)
1918adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → 𝐺𝐹)
20 eqid 2610 . . . 4 (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
21 lclkrlem2x.l . . . 4 𝐿 = (LKer‘𝑈)
22 lclkrlem2x.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
23 lclkrlem2x.o . . . 4 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
24 lclkrlem2x.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
25 eqid 2610 . . . 4 (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
26 lclkrlem2x.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2726adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
28 lclkrlem2x.le . . . . 5 (𝜑 → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
2928adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
30 lclkrlem2x.lg . . . . 5 (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
3130adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
32 simpr 476 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈)))
332, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 29, 31, 32lclkrlem2u 35834 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
341, 33sylan2br 492 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈))) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
35 df-ne 2782 . . 3 (((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈)) ↔ ¬ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))
3612adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → 𝑋𝑉)
3714adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → 𝑌𝑉)
3816adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → 𝐸𝐹)
3918adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → 𝐺𝐹)
4026adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4128adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
4230adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
43 simpr 476 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈)))
442, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 36, 37, 38, 39, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 40, 41, 42, 43lclkrlem2t 35833 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
4535, 44sylan2br 492 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈))) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
4612adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))) → 𝑋𝑉)
4714adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))) → 𝑌𝑉)
4816adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))) → 𝐸𝐹)
4918adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))) → 𝐺𝐹)
5026adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
5128adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))) → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
5230adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))) → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
53 simprl 790 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))
54 simprr 792 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))
552, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 46, 47, 48, 49, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 50, 51, 52, 53, 54lclkrlem2w 35836 . 2 ((𝜑 ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
5634, 45, 55pm2.61dda 830 1 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923  -gcsg 17247  LSSumclsm 17872  invrcinvr 18494  LSpanclspn 18792  LFnlclfn 33362  LKerclk 33390  LDualcld 33428  HLchlt 33655  LHypclh 34288  DVecHcdvh 35385  ocHcoch 35654 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-riotaBAD 33257 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-undef 7286  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-0g 15925  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-oppg 17599  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924  df-lsatoms 33281  df-lshyp 33282  df-lcv 33324  df-lfl 33363  df-lkr 33391  df-ldual 33429  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803  df-lvols 33804  df-lines 33805  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464  df-tgrp 35049  df-tendo 35061  df-edring 35063  df-dveca 35309  df-disoa 35336  df-dvech 35386  df-dib 35446  df-dic 35480  df-dih 35536  df-doch 35655  df-djh 35702 This theorem is referenced by:  lclkrlem2y  35838
 Copyright terms: Public domain W3C validator