MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lattrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lattrd 16881
Description: A lattice ordering is transitive. Deduction version of lattr 16879. (Contributed by NM, 3-Sep-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lattrd.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lattrd.l = (le‘𝐾)
lattrd.1 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
lattrd.2 (𝜑𝑋𝐵)
lattrd.3 (𝜑𝑌𝐵)
lattrd.4 (𝜑𝑍𝐵)
lattrd.5 (𝜑𝑋 𝑌)
lattrd.6 (𝜑𝑌 𝑍)
Assertion
Ref Expression
lattrd (𝜑𝑋 𝑍)

Proof of Theorem lattrd
StepHypRef Expression
1 lattrd.5 . 2 (𝜑𝑋 𝑌)
2 lattrd.6 . 2 (𝜑𝑌 𝑍)
3 lattrd.1 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
4 lattrd.2 . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
5 lattrd.3 . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
6 lattrd.4 . . 3 (𝜑𝑍𝐵)
7 lattrd.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 lattrd.l . . . 4 = (le‘𝐾)
97, 8lattr 16879 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑍) → 𝑋 𝑍))
103, 4, 5, 6, 9syl13anc 1320 . 2 (𝜑 → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑍) → 𝑋 𝑍))
111, 2, 10mp2and 711 1 (𝜑𝑋 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4583  cfv 5804  Basecbs 15695  lecple 15775  Latclat 16868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-nul 4717
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fv 5812  df-poset 16769  df-lat 16869
This theorem is referenced by:  latmlej11  16913  latjass  16918  lubun  16946  cvlcvr1  33644  exatleN  33708  2atjm  33749  2llnmat  33828  llnmlplnN  33843  2llnjaN  33870  2lplnja  33923  dalem5  33971  lncmp  34087  2lnat  34088  2llnma1b  34090  cdlema1N  34095  paddasslem5  34128  paddasslem12  34135  paddasslem13  34136  dalawlem3  34177  dalawlem5  34179  dalawlem6  34180  dalawlem7  34181  dalawlem8  34182  dalawlem11  34185  dalawlem12  34186  pl42lem1N  34283  lhpexle2lem  34313  lhpexle3lem  34315  4atexlemtlw  34371  4atexlemc  34373  cdleme15  34583  cdleme17b  34592  cdleme22e  34650  cdleme22eALTN  34651  cdleme23a  34655  cdleme28a  34676  cdleme30a  34684  cdleme32e  34751  cdleme35b  34756  trlord  34875  cdlemg10  34947  cdlemg11b  34948  cdlemg17a  34967  cdlemg35  35019  tendococl  35078  tendopltp  35086  cdlemi1  35124  cdlemk11  35155  cdlemk5u  35167  cdlemk11u  35177  cdlemk52  35260  dialss  35353  diaglbN  35362  diaintclN  35365  dia2dimlem1  35371  cdlemm10N  35425  djajN  35444  dibglbN  35473  dibintclN  35474  diblss  35477  cdlemn10  35513  dihord1  35525  dihord2pre2  35533  dihopelvalcpre  35555  dihord5apre  35569  dihmeetlem1N  35597  dihglblem2N  35601  dihmeetlem2N  35606  dihglbcpreN  35607  dihmeetlem3N  35612
  Copyright terms: Public domain W3C validator