MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lattr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lattr 16879
Description: A lattice ordering is transitive. (sstr 3576 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latref.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latref.l = (le‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lattr ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑍) → 𝑋 𝑍))

Proof of Theorem lattr
StepHypRef Expression
1 latpos 16873 . 2 (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
2 latref.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 latref.l . . 3 = (le‘𝐾)
42, 3postr 16776 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑍) → 𝑋 𝑍))
51, 4sylan 487 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑍) → 𝑋 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4583  cfv 5804  Basecbs 15695  lecple 15775  Posetcpo 16763  Latclat 16868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-nul 4717
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fv 5812  df-poset 16769  df-lat 16869
This theorem is referenced by:  lattrd  16881  latjlej1  16888  latjlej12  16890  latnlej2  16894  latmlem1  16904  latmlem12  16906  clatleglb  16949  lecmtN  33561  hlrelat2  33707  ps-2  33782  dalem3  33968  dalem17  33984  dalem21  33998  dalem25  34002  linepsubN  34056  pmapsub  34072  cdlemblem  34097  pmapjoin  34156  lhpmcvr4N  34330  4atexlemnclw  34374  cdlemd3  34505  cdleme3g  34539  cdleme3h  34540  cdleme7d  34551  cdleme21c  34633  cdleme32b  34748  cdleme35fnpq  34755  cdleme35f  34760  cdleme48bw  34808  cdlemf1  34867  cdlemg2fv2  34906  cdlemg7fvbwN  34913  cdlemg4  34923  cdlemg6c  34926  cdlemg27a  34998  cdlemg33b0  35007  cdlemg33a  35012  cdlemk3  35139  dia2dimlem1  35371  dihord6b  35567  dihord5apre  35569  dihglbcpreN  35607
  Copyright terms: Public domain W3C validator