Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dibglbN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dibglbN 35473
 Description: Partial isomorphism B of a lattice glb. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dibglb.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
dibglb.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dibglb.i 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dibglbN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem dibglbN
Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simprl 790 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ dom 𝐼)
3 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 eqid 2610 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5 dibglb.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 dibglb.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
73, 4, 5, 6dibdmN 35464 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → dom 𝐼 = {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
87sseq2d 3596 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊}))
98adantr 480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊}))
102, 9mpbid 221 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
11 simprr 792 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ≠ ∅)
125, 6dibvalrel 35470 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Rel (𝐼‘(𝐺𝑆)))
1312adantr 480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → Rel (𝐼‘(𝐺𝑆)))
14 n0 3890 . . . . . . . 8 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝑆)
1514biimpi 205 . . . . . . 7 (𝑆 ≠ ∅ → ∃𝑥 𝑥𝑆)
1615ad2antll 761 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∃𝑥 𝑥𝑆)
175, 6dibvalrel 35470 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Rel (𝐼𝑥))
1817adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → Rel (𝐼𝑥))
1918a1d 25 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝑥𝑆 → Rel (𝐼𝑥)))
2019ancld 574 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝑥𝑆 → (𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥))))
2120eximdv 1833 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (∃𝑥 𝑥𝑆 → ∃𝑥(𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥))))
2216, 21mpd 15 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∃𝑥(𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥)))
23 df-rex 2902 . . . . 5 (∃𝑥𝑆 Rel (𝐼𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥)))
2422, 23sylibr 223 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝑆 Rel (𝐼𝑥))
25 reliin 5163 . . . 4 (∃𝑥𝑆 Rel (𝐼𝑥) → Rel 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
2624, 25syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → Rel 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
27 id 22 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)))
28 simpl 472 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
29 simprl 790 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
30 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
313, 4, 5, 30diadm 35342 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
3231adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
3329, 32sseqtr4d 3605 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊))
34 simprr 792 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ≠ ∅)
35 dibglb.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (glb‘𝐾)
3635, 5, 30diaglbN 35362 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
3728, 33, 34, 36syl12anc 1316 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
3837eleq2d 2673 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐺𝑆)) ↔ 𝑓 𝑥𝑆 (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
39 vex 3176 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
40 eliin 4461 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ V → (𝑓 𝑥𝑆 (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆 𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑓 𝑥𝑆 (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆 𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
4238, 41syl6bb 275 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐺𝑆)) ↔ ∀𝑥𝑆 𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
4342anbi1d 737 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐺𝑆)) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))) ↔ (∀𝑥𝑆 𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
44 r19.27zv 4023 . . . . . . 7 (𝑆 ≠ ∅ → (∀𝑥𝑆 (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))) ↔ (∀𝑥𝑆 𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
4544ad2antll 761 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (∀𝑥𝑆 (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))) ↔ (∀𝑥𝑆 𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
4643, 45bitr4d 270 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐺𝑆)) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))) ↔ ∀𝑥𝑆 (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
47 hlclat 33663 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
4847ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ CLat)
49 ssrab2 3650 . . . . . . . 8 {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ⊆ (Base‘𝐾)
5029, 49syl6ss 3580 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
513, 35clatglbcl 16937 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → (𝐺𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
5248, 50, 51syl2anc 691 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐺𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
53 hllat 33668 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
5453ad3antrrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
5547ad3antrrr 762 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
56 simplrl 796 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
5756, 49syl6ss 3580 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
5855, 57, 51syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
5950sselda 3568 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
603, 5lhpbase 34302 . . . . . . . . 9 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
6160ad3antlr 763 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
62 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
633, 4, 35clatglble 16948 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆)(le‘𝐾)𝑥)
6455, 57, 62, 63syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆)(le‘𝐾)𝑥)
6529sselda 3568 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
66 breq1 4586 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦(le‘𝐾)𝑊𝑥(le‘𝐾)𝑊))
6766elrab 3331 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊))
6865, 67sylib 207 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊))
6968simprd 478 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥(le‘𝐾)𝑊)
703, 4, 54, 58, 59, 61, 64, 69lattrd 16881 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆)(le‘𝐾)𝑊)
7116, 70exlimddv 1850 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐺𝑆)(le‘𝐾)𝑊)
72 eqid 2610 . . . . . . 7 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
73 eqid 2610 . . . . . . 7 ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
743, 4, 5, 72, 73, 30, 6dibopelval2 35452 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺𝑆)(le‘𝐾)𝑊)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐺𝑆)) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
7528, 52, 71, 74syl12anc 1316 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐺𝑆)) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
76 opex 4859 . . . . . . 7 𝑓, 𝑠⟩ ∈ V
77 eliin 4461 . . . . . . 7 (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ V → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥)))
7876, 77ax-mp 5 . . . . . 6 (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥))
79 simpll 786 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
803, 4, 5, 72, 73, 30, 6dibopelval2 35452 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
8179, 68, 80syl2anc 691 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
8281ralbidva 2968 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (∀𝑥𝑆𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆 (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
8378, 82syl5bb 271 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆 (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
8446, 75, 833bitr4d 299 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)))
8584eqrelrdv2 5142 . . 3 (((Rel (𝐼‘(𝐺𝑆)) ∧ Rel 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)) ∧ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅))) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
8613, 26, 27, 85syl21anc 1317 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
871, 10, 11, 86syl12anc 1316 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ⟨cop 4131  ∩ ciin 4456   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   I cid 4948  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  Rel wrel 5043  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  lecple 15775  glbcglb 16766  Latclat 16868  CLatccla 16930  HLchlt 33655  LHypclh 34288  LTrncltrn 34405  DIsoAcdia 35335  DIsoBcdib 35445 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464  df-disoa 35336  df-dib 35446 This theorem is referenced by:  dibintclN  35474  dihglblem3N  35602  dihmeetlem2N  35606
 Copyright terms: Public domain W3C validator