Proof of Theorem cdlemk11
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdlemk.b |
. 2
⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾) |
2 | | cdlemk.l |
. 2
⊢ ≤ =
(le‘𝐾) |
3 | | simp11l 1165 |
. . 3
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝐾 ∈ HL) |
4 | | hllat 33668 |
. . 3
⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat) |
5 | 3, 4 | syl 17 |
. 2
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝐾 ∈ Lat) |
6 | | simp1 1054 |
. . . 4
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) |
7 | | simp21l 1171 |
. . . 4
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝑁 ∈ 𝑇) |
8 | | simp22 1088 |
. . . 4
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) |
9 | | simp23 1089 |
. . . 4
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) |
10 | | simp311 1201 |
. . . 4
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) |
11 | | simp312 1202 |
. . . 4
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) |
12 | | simp32 1091 |
. . . 4
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹)) |
13 | | cdlemk.j |
. . . . 5
⊢ ∨ =
(join‘𝐾) |
14 | | cdlemk.a |
. . . . 5
⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾) |
15 | | cdlemk.h |
. . . . 5
⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾) |
16 | | cdlemk.t |
. . . . 5
⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) |
17 | | cdlemk.r |
. . . . 5
⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊) |
18 | | cdlemk.m |
. . . . 5
⊢ ∧ =
(meet‘𝐾) |
19 | | cdlemk.s |
. . . . 5
⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹)))))) |
20 | 1, 2, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 | cdlemksat 35152 |
. . . 4
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑆‘𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐴) |
21 | 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 20 | syl133anc 1341 |
. . 3
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑆‘𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐴) |
22 | 1, 14 | atbase 33594 |
. . 3
⊢ (((𝑆‘𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐴 → ((𝑆‘𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐵) |
23 | 21, 22 | syl 17 |
. 2
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑆‘𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐵) |
24 | | simp11 1084 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) |
25 | | simp12 1085 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝐹 ∈ 𝑇) |
26 | | simp21r 1172 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝑋 ∈ 𝑇) |
27 | | simp313 1203 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) |
28 | | simp33 1092 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) |
29 | 1, 2, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 | cdlemksat 35152 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴) |
30 | 24, 25, 26, 7, 8, 9,
10, 27, 28, 29 | syl333anc 1350 |
. . . 4
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴) |
31 | 1, 14 | atbase 33594 |
. . . 4
⊢ (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴 → ((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐵) |
32 | 30, 31 | syl 17 |
. . 3
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐵) |
33 | | simp11r 1166 |
. . . 4
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝑊 ∈ 𝐻) |
34 | | simp13 1086 |
. . . 4
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝐺 ∈ 𝑇) |
35 | | simp22l 1173 |
. . . 4
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝑃 ∈ 𝐴) |
36 | | cdlemk.v |
. . . . 5
⊢ 𝑉 = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ ((𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹)))) |
37 | 1, 2, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 36 | cdlemkvcl 35148 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑉 ∈ 𝐵) |
38 | 3, 33, 25, 34, 26, 35, 37 | syl231anc 1338 |
. . 3
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝑉 ∈ 𝐵) |
39 | 1, 13 | latjcl 16874 |
. . 3
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∨ 𝑉) ∈ 𝐵) |
40 | 5, 32, 38, 39 | syl3anc 1318 |
. 2
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∨ 𝑉) ∈ 𝐵) |
41 | 15, 16 | ltrncnv 34450 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ◡𝐺 ∈ 𝑇) |
42 | 24, 34, 41 | syl2anc 691 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ◡𝐺 ∈ 𝑇) |
43 | 15, 16 | ltrnco 35025 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ ◡𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑋 ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑇) |
44 | 24, 26, 42, 43 | syl3anc 1318 |
. . . 4
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑋 ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑇) |
45 | 1, 15, 16, 17 | trlcl 34469 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)) ∈ 𝐵) |
46 | 24, 44, 45 | syl2anc 691 |
. . 3
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)) ∈ 𝐵) |
47 | 1, 13 | latjcl 16874 |
. . 3
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)) ∈ 𝐵) → (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺))) ∈ 𝐵) |
48 | 5, 32, 46, 47 | syl3anc 1318 |
. 2
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺))) ∈ 𝐵) |
49 | 1, 2, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 36 | cdlemk7 35154 |
. 2
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑆‘𝐺)‘𝑃) ≤ (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∨ 𝑉)) |
50 | 1, 2, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 36 | cdlemk10 35149 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑉 ≤ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺))) |
51 | 3, 33, 25, 34, 26, 8, 50 | syl231anc 1338 |
. . 3
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝑉 ≤ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺))) |
52 | 1, 2, 13 | latjlej2 16889 |
. . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐵)) → (𝑉 ≤ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)) → (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∨ 𝑉) ≤ (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺))))) |
53 | 5, 38, 46, 32, 52 | syl13anc 1320 |
. . 3
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑉 ≤ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)) → (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∨ 𝑉) ≤ (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺))))) |
54 | 51, 53 | mpd 15 |
. 2
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∨ 𝑉) ≤ (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)))) |
55 | 1, 2, 5, 23, 40, 48, 49, 54 | lattrd 16881 |
1
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑆‘𝐺)‘𝑃) ≤ (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)))) |