Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2i1fseq3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2i1fseq3 23330
 Description: Special case of itg2i1fseq2 23329: if the integral of 𝐹 is a real number, then the standard limit relation holds on the integrals of simple functions approaching 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
itg2i1fseq.2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2i1fseq.3 (𝜑𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
itg2i1fseq.4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
itg2i1fseq.5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
itg2i1fseq.6 𝑆 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑚)))
itg2i1fseq3.7 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseq3 (𝜑𝑆 ⇝ (∫2𝐹))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝐹   𝑃,𝑚,𝑛,𝑥   𝜑,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem itg2i1fseq3
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2i1fseq.1 . 2 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
2 itg2i1fseq.2 . 2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
3 itg2i1fseq.3 . 2 (𝜑𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
4 itg2i1fseq.4 . 2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
5 itg2i1fseq.5 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
6 itg2i1fseq.6 . 2 𝑆 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑚)))
7 itg2i1fseq3.7 . 2 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
8 icossicc 12131 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
9 fss 5969 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
102, 8, 9sylancl 693 . . . 4 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
1110adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
123ffvelrnda 6267 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) ∈ dom ∫1)
131, 2, 3, 4, 5itg2i1fseqle 23327 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) ∘𝑟𝐹)
14 itg2ub 23306 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑃𝑘) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑃𝑘) ∘𝑟𝐹) → (∫1‘(𝑃𝑘)) ≤ (∫2𝐹))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1318 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃𝑘)) ≤ (∫2𝐹))
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15itg2i1fseq2 23329 1 (𝜑𝑆 ⇝ (∫2𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑟 cofr 6794  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  +∞cpnf 9950   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  [,)cico 12048  [,]cicc 12049   ⇝ cli 14063  MblFncmbf 23189  ∫1citg1 23190  ∫2citg2 23191  0𝑝c0p 23242 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cmp 21000  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-0p 23243 This theorem is referenced by:  itg2addlem  23331
 Copyright terms: Public domain W3C validator