Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmfltle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issmfltle 39622
 Description: The definition of a measurable function w.r.t. a sigma-algebra, can be stated using less than or equal instead of less than. Proposition 121B (ii) of [Fremlin1] p. 35. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmfltle.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
issmfltle.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
issmfltle.d 𝐷 = dom 𝐹
issmfltle.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
issmfltle (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Proof of Theorem issmfltle
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1830 . . 3 𝑥𝜑
2 issmfltle.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
3 issmfltle.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
4 issmfltle.d . . . . . 6 𝐷 = dom 𝐹
52, 3, 4smff 39618 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
65frexr 38545 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ*)
76ffvelrnda 6267 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
8 issmfltle.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
91, 7, 8preimaleiinlt 39608 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝐴} = 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑛))})
102uniexd 38310 . . . . 5 (𝜑 𝑆 ∈ V)
112, 3, 4smfdmss 39619 . . . . 5 (𝜑𝐷 𝑆)
1210, 11ssexd 4733 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ V)
13 eqid 2610 . . . 4 (𝑆t 𝐷) = (𝑆t 𝐷)
142, 12, 13subsalsal 39253 . . 3 (𝜑 → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
15 nnct 12642 . . . 4 ℕ ≼ ω
1615a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℕ ≼ ω)
17 nnn0 38536 . . . 4 ℕ ≠ ∅
1817a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
192adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ SAlg)
203adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
21 simpl 472 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
22 nnrecre 10934 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
2322adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
2421, 23readdcld 9948 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
258, 24sylan 487 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
2619, 20, 4, 25smfpreimalt 39617 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑛))} ∈ (𝑆t 𝐷))
2714, 16, 18, 26saliincl 39221 . 2 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑛))} ∈ (𝑆t 𝐷))
289, 27eqeltrd 2688 1 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {crab 2900  Vcvv 3173  ∅c0 3874  ∪ cuni 4372  ∩ ciin 4456   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ωcom 6957   ≼ cdom 7839  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   / cdiv 10563  ℕcn 10897   ↾t crest 15904  SAlgcsalg 39204  SMblFncsmblfn 39586 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-acn 8651  df-ac 8822  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-fl 12455  df-rest 15906  df-salg 39205  df-smblfn 39587 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator