Theorem idlimc 38693

Description: Limit of the identity function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlimc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
idlimc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)
idlimc.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
idlimc	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 limℂ 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem idlimc

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlimc.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
2		simpr 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
3		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
4		idlimc.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)
5	4	fvmpt2 6200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝑥)
6	3, 3, 5	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝑥)
7	6	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) − 𝑋) = (𝑥 − 𝑋))
8	7	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) = (abs‘(𝑥 − 𝑋)))
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) = (abs‘(𝑥 − 𝑋)))
10		simpr 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤)
11	9, 10	eqbrtrd 4605	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤)
12	11	adantrl 748	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤)) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤)
13	12	ex 449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤))
14	13	adantlr 747	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤))
15	14	ralrimiva 2949	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤))
16		nfcv 2751	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧𝑥
17		nfcv 2751	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧𝑋
18	16, 17	nfne 2882	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑥 ≠ 𝑋
19		nfv 1830	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧(abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤
20	18, 19	nfan 1816	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤)
21		nfv 1830	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤
22	20, 21	nfim 1813	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤)
23		nfv 1830	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤)
24		nfcv 2751	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥abs
25		nfmpt1 4675	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)
26	4, 25	nfcxfr 2749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
27		nfcv 2751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
28	26, 27	nffv 6110	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑧)
29		nfcv 2751	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 −
30		nfcv 2751	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑋
31	28, 29, 30	nfov 6575	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑧) − 𝑋)
32	24, 31	nffv 6110	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋))
33		nfcv 2751	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 <
34		nfcv 2751	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑤
35	32, 33, 34	nfbr 4629	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤
36	23, 35	nfim 1813	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤)
37		neeq1 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≠ 𝑋 ↔ 𝑧 ≠ 𝑋))
38		oveq1 6556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 − 𝑋) = (𝑧 − 𝑋))
39	38	fveq2d 6107	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (abs‘(𝑥 − 𝑋)) = (abs‘(𝑧 − 𝑋)))
40	39	breq1d 4593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤))
41	37, 40	anbi12d 743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) ↔ (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤)))
42		fveq2 6103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
43	42	oveq1d 6564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑥) − 𝑋) = ((𝐹‘𝑧) − 𝑋))
44	43	fveq2d 6107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) = (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)))
45	44	breq1d 4593	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
46	41, 45	imbi12d 333	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤) ↔ ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤)))
47	22, 36, 46	cbvral 3143	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
48	15, 47	sylib 207	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
49		breq2 4587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤))
50	49	anbi2d 736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑦) ↔ (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤)))
51	50	imbi1d 330	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤) ↔ ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤)))
52	51	ralbidv 2969	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤)))
53	52	rspcev 3282	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
54	2, 48, 53	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
55	54	ralrimiva 2949	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
56		idlimc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
57	56	sselda 3568	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
58	57, 4	fmptd 6292	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
59	58, 56, 1	ellimc3 23449	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 limℂ 𝑋) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))))
60	1, 55, 59	mpbir2and 959	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 limℂ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   < clt 9953   − cmin 10145  ℝ⁺crp 11708  abscabs 13822   lim_ℂ climc 23432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cnp 20842  df-xms 21935  df-ms 21936  df-limc 23436

This theorem is referenced by:  fourierdlem53  39052  fourierdlem60  39059  fourierdlem61  39060  fourierdlem73  39072  fourierdlem74  39073  fourierdlem75  39074  fourierdlem76  39075