Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  divcnvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcnvg 38694
 Description: The sequence of reciprocals of positive integers, multiplied by the factor 𝐴, converges to zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
divcnvg ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑀

Proof of Theorem divcnvg
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluznn 11634 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ)
2 eqidd 2611 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)))
3 oveq2 6557 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (𝐴 / 𝑚) = (𝐴 / 𝑛))
43adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 = 𝑛) → (𝐴 / 𝑚) = (𝐴 / 𝑛))
5 id 22 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
6 ovex 6577 . . . . . . . 8 (𝐴 / 𝑛) ∈ V
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴 / 𝑛) ∈ V)
82, 4, 5, 7fvmptd 6197 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛) = (𝐴 / 𝑛))
98eqcomd 2616 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴 / 𝑛) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛))
101, 9syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 / 𝑛) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛))
1110adantll 746 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 / 𝑛) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛))
1211mpteq2dva 4672 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐴 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ↦ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛)))
13 divcnv 14424 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
1413adantr 480 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
15 simpr 476 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
1615nnzd 11357 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
17 nnex 10903 . . . . 5 ℕ ∈ V
1817mptex 6390 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ∈ V
19 eqid 2610 . . . . 5 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
20 eqid 2610 . . . . 5 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ↦ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛)) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ↦ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛))
2119, 20climmpt 14150 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ∈ V) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ↦ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛)) ⇝ 0))
2216, 18, 21sylancl 693 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ↦ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛)) ⇝ 0))
2314, 22mpbid 221 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ↦ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛)) ⇝ 0)
2412, 23eqbrtrd 4605 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563   ⇝ cli 14063 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068 This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1lem2  38822  ioodvbdlimc2lem  38824
 Copyright terms: Public domain W3C validator