Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashen1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashen1 13021
 Description: A set with only one element is equinumerous to the ordinal number 1. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
hashen1 (𝐴𝑉 → ((#‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ≈ 1𝑜))

Proof of Theorem hashen1
StepHypRef Expression
1 0ex 4718 . . . . . 6 ∅ ∈ V
2 hashsng 13020 . . . . . 6 (∅ ∈ V → (#‘{∅}) = 1)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 (#‘{∅}) = 1
43eqcomi 2619 . . . 4 1 = (#‘{∅})
54a1i 11 . . 3 (𝐴𝑉 → 1 = (#‘{∅}))
65eqeq2d 2620 . 2 (𝐴𝑉 → ((#‘𝐴) = 1 ↔ (#‘𝐴) = (#‘{∅})))
7 simpr 476 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) = (#‘{∅})) → (#‘𝐴) = (#‘{∅}))
8 1nn0 11185 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
93, 8eqeltri 2684 . . . . . . . 8 (#‘{∅}) ∈ ℕ0
10 hashvnfin 13012 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘{∅}) ∈ ℕ0) → ((#‘𝐴) = (#‘{∅}) → 𝐴 ∈ Fin))
119, 10mpan2 703 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → ((#‘𝐴) = (#‘{∅}) → 𝐴 ∈ Fin))
1211imp 444 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) = (#‘{∅})) → 𝐴 ∈ Fin)
13 snfi 7923 . . . . . 6 {∅} ∈ Fin
14 hashen 12997 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {∅} ∈ Fin) → ((#‘𝐴) = (#‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
1512, 13, 14sylancl 693 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) = (#‘{∅})) → ((#‘𝐴) = (#‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
167, 15mpbid 221 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) = (#‘{∅})) → 𝐴 ≈ {∅})
1716ex 449 . . 3 (𝐴𝑉 → ((#‘𝐴) = (#‘{∅}) → 𝐴 ≈ {∅}))
18 hasheni 12998 . . 3 (𝐴 ≈ {∅} → (#‘𝐴) = (#‘{∅}))
1917, 18impbid1 214 . 2 (𝐴𝑉 → ((#‘𝐴) = (#‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
20 df1o2 7459 . . . . 5 1𝑜 = {∅}
2120eqcomi 2619 . . . 4 {∅} = 1𝑜
2221breq2i 4591 . . 3 (𝐴 ≈ {∅} ↔ 𝐴 ≈ 1𝑜)
2322a1i 11 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ≈ {∅} ↔ 𝐴 ≈ 1𝑜))
246, 19, 233bitrd 293 1 (𝐴𝑉 → ((#‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ≈ 1𝑜))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  1𝑜c1o 7440   ≈ cen 7838  Fincfn 7841  1c1 9816  ℕ0cn0 11169  #chash 12979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980 This theorem is referenced by:  euhash1  13069  0ring  19091  0ring01eqbi  19094
 Copyright terms: Public domain W3C validator