MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashen1 Structured version   Unicode version

Theorem hashen1 12419
Description: A set with only one element is equinumerous to the ordinal number 1. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
hashen1  |-  ( A  e.  V  ->  (
( # `  A )  =  1  <->  A  ~~  1o ) )

Proof of Theorem hashen1
StepHypRef Expression
1 0ex 4583 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
2 hashsng 12418 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( # `  { (/)
} )  =  1 )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( # `  { (/) } )  =  1
43eqcomi 2480 . . . 4  |-  1  =  ( # `  { (/)
} )
54a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  1  =  ( # `  { (/)
} ) )
65eqeq2d 2481 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( # `  A )  =  1  <->  ( # `  A
)  =  ( # `  { (/) } ) ) )
7 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( # `  A )  =  ( # `  { (/)
} ) )  -> 
( # `  A )  =  ( # `  { (/)
} ) )
8 1nn0 10823 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
93, 8eqeltri 2551 . . . . . . . 8  |-  ( # `  { (/) } )  e. 
NN0
10 hashvnfin 12411 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( # `  { (/) } )  e.  NN0 )  ->  ( ( # `  A
)  =  ( # `  { (/) } )  ->  A  e.  Fin )
)
119, 10mpan2 671 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
( # `  A )  =  ( # `  { (/)
} )  ->  A  e.  Fin ) )
1211imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( # `  A )  =  ( # `  { (/)
} ) )  ->  A  e.  Fin )
13 snfi 7608 . . . . . 6  |-  { (/) }  e.  Fin
14 hashen 12400 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  {
(/) }  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A )  =  (
# `  { (/) } )  <-> 
A  ~~  { (/) } ) )
1512, 13, 14sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( # `  A )  =  ( # `  { (/)
} ) )  -> 
( ( # `  A
)  =  ( # `  { (/) } )  <->  A  ~~  {
(/) } ) )
167, 15mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( # `  A )  =  ( # `  { (/)
} ) )  ->  A  ~~  { (/) } )
1716ex 434 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( # `  A )  =  ( # `  { (/)
} )  ->  A  ~~  { (/) } ) )
18 hasheni 12401 . . 3  |-  ( A 
~~  { (/) }  ->  (
# `  A )  =  ( # `  { (/)
} ) )
1917, 18impbid1 203 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( # `  A )  =  ( # `  { (/)
} )  <->  A  ~~  {
(/) } ) )
20 df1o2 7154 . . . . 5  |-  1o  =  { (/) }
2120eqcomi 2480 . . . 4  |-  { (/) }  =  1o
2221breq2i 4461 . . 3  |-  ( A 
~~  { (/) }  <->  A  ~~  1o )
2322a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  ~~  { (/) }  <->  A  ~~  1o ) )
246, 19, 233bitrd 279 1  |-  ( A  e.  V  ->  (
( # `  A )  =  1  <->  A  ~~  1o ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118   (/)c0 3790   {csn 4033   class class class wbr 4453   ` cfv 5594   1oc1o 7135    ~~ cen 7525   Fincfn 7528   1c1 9505   NN0cn0 10807   #chash 12385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-hash 12386
This theorem is referenced by:  0ring  17788  0ring01eqbi  17791
  Copyright terms: Public domain W3C validator