MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcsetcestrclem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcsetcestrclem8 16625
Description: Lemma 8 for funcsetcestrc 16627. (Contributed by AV, 28-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
funcsetcestrc.s 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f (𝜑𝐹 = (𝑥𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u (𝜑𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g (𝜑𝐺 = (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑚 𝑥))))
funcsetcestrc.e 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
funcsetcestrclem8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑋𝐺𝑌):(𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌)⟶((𝐹𝑋)(Hom ‘𝐸)(𝐹𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝑦,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem8
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 6086 . . . 4 ( I ↾ (𝑌𝑚 𝑋)):(𝑌𝑚 𝑋)–1-1-onto→(𝑌𝑚 𝑋)
2 f1of 6050 . . . 4 (( I ↾ (𝑌𝑚 𝑋)):(𝑌𝑚 𝑋)–1-1-onto→(𝑌𝑚 𝑋) → ( I ↾ (𝑌𝑚 𝑋)):(𝑌𝑚 𝑋)⟶(𝑌𝑚 𝑋))
31, 2mp1i 13 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → ( I ↾ (𝑌𝑚 𝑋)):(𝑌𝑚 𝑋)⟶(𝑌𝑚 𝑋))
4 elmapi 7765 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) → 𝑓:𝑋𝑌)
5 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑋𝐶𝑌𝐶))
65ancomd 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑌𝐶𝑋𝐶))
7 elmapg 7757 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝐶𝑋𝐶) → (𝑓 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ↔ 𝑓:𝑋𝑌))
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ↔ 𝑓:𝑋𝑌))
98biimpar 501 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) ∧ 𝑓:𝑋𝑌) → 𝑓 ∈ (𝑌𝑚 𝑋))
10 funcsetcestrc.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
11 funcsetcestrc.c . . . . . . . . . . . . 13 𝐶 = (Base‘𝑆)
12 funcsetcestrc.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
1310, 11, 12funcsetcestrclem1 16617 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌𝐶) → (𝐹𝑌) = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩})
1413fveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌𝐶) → (Base‘(𝐹𝑌)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}))
15 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}
16151strbas 15806 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌𝐶𝑌 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}))
1716eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌𝐶 → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
1817adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌𝐶) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
1914, 18eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑌𝐶) → (Base‘(𝐹𝑌)) = 𝑌)
2019adantrl 748 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (Base‘(𝐹𝑌)) = 𝑌)
2110, 11, 12funcsetcestrclem1 16617 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐹𝑋) = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})
2221fveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋𝐶) → (Base‘(𝐹𝑋)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
23 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}
24231strbas 15806 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝐶𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
2524adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
2622, 25eqtr4d 2647 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐶) → (Base‘(𝐹𝑋)) = 𝑋)
2726adantrr 749 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (Base‘(𝐹𝑋)) = 𝑋)
2820, 27oveq12d 6567 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → ((Base‘(𝐹𝑌)) ↑𝑚 (Base‘(𝐹𝑋))) = (𝑌𝑚 𝑋))
2928adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) ∧ 𝑓:𝑋𝑌) → ((Base‘(𝐹𝑌)) ↑𝑚 (Base‘(𝐹𝑋))) = (𝑌𝑚 𝑋))
309, 29eleqtrrd 2691 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) ∧ 𝑓:𝑋𝑌) → 𝑓 ∈ ((Base‘(𝐹𝑌)) ↑𝑚 (Base‘(𝐹𝑋))))
3130ex 449 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑓:𝑋𝑌𝑓 ∈ ((Base‘(𝐹𝑌)) ↑𝑚 (Base‘(𝐹𝑋)))))
324, 31syl5 33 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) → 𝑓 ∈ ((Base‘(𝐹𝑌)) ↑𝑚 (Base‘(𝐹𝑋)))))
3332ssrdv 3574 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑌𝑚 𝑋) ⊆ ((Base‘(𝐹𝑌)) ↑𝑚 (Base‘(𝐹𝑋))))
343, 33fssd 5970 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → ( I ↾ (𝑌𝑚 𝑋)):(𝑌𝑚 𝑋)⟶((Base‘(𝐹𝑌)) ↑𝑚 (Base‘(𝐹𝑋))))
35 funcsetcestrc.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
36 funcsetcestrc.o . . . 4 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
37 funcsetcestrc.g . . . 4 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑚 𝑥))))
3810, 11, 12, 35, 36, 37funcsetcestrclem5 16622 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑋𝐺𝑌) = ( I ↾ (𝑌𝑚 𝑋)))
3935adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → 𝑈 ∈ WUni)
40 eqid 2610 . . . 4 (Hom ‘𝑆) = (Hom ‘𝑆)
4110, 35setcbas 16551 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 = (Base‘𝑆))
4241, 11syl6reqr 2663 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 = 𝑈)
4342eleq2d 2673 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝐶𝑋𝑈))
4443biimpd 218 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝐶𝑋𝑈))
4544adantrd 483 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋𝐶𝑌𝐶) → 𝑋𝑈))
4645imp 444 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → 𝑋𝑈)
4742eleq2d 2673 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌𝐶𝑌𝑈))
4847biimpd 218 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌𝐶𝑌𝑈))
4948adantld 482 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋𝐶𝑌𝐶) → 𝑌𝑈))
5049imp 444 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → 𝑌𝑈)
5110, 39, 40, 46, 50setchom 16553 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) = (𝑌𝑚 𝑋))
52 funcsetcestrc.e . . . 4 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
53 eqid 2610 . . . 4 (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
5410, 11, 12, 35, 36funcsetcestrclem2 16618 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)
5554adantrr 749 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)
5610, 11, 12, 35, 36funcsetcestrclem2 16618 . . . . 5 ((𝜑𝑌𝐶) → (𝐹𝑌) ∈ 𝑈)
5756adantrl 748 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝐹𝑌) ∈ 𝑈)
58 eqid 2610 . . . 4 (Base‘(𝐹𝑋)) = (Base‘(𝐹𝑋))
59 eqid 2610 . . . 4 (Base‘(𝐹𝑌)) = (Base‘(𝐹𝑌))
6052, 39, 53, 55, 57, 58, 59estrchom 16590 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → ((𝐹𝑋)(Hom ‘𝐸)(𝐹𝑌)) = ((Base‘(𝐹𝑌)) ↑𝑚 (Base‘(𝐹𝑋))))
6138, 51, 60feq123d 5947 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → ((𝑋𝐺𝑌):(𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌)⟶((𝐹𝑋)(Hom ‘𝐸)(𝐹𝑌)) ↔ ( I ↾ (𝑌𝑚 𝑋)):(𝑌𝑚 𝑋)⟶((Base‘(𝐹𝑌)) ↑𝑚 (Base‘(𝐹𝑋)))))
6234, 61mpbird 246 1 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑋𝐺𝑌):(𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌)⟶((𝐹𝑋)(Hom ‘𝐸)(𝐹𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  {csn 4125  cop 4131  cmpt 4643   I cid 4948  cres 5040  wf 5800  1-1-ontowf1o 5803  cfv 5804  (class class class)co 6549  cmpt2 6551  ωcom 6957  𝑚 cmap 7744  WUnicwun 9401  ndxcnx 15692  Basecbs 15695  Hom chom 15779  SetCatcsetc 16548  ExtStrCatcestrc 16585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-wun 9403  df-ni 9573  df-pli 9574  df-mi 9575  df-lti 9576  df-plpq 9609  df-mpq 9610  df-ltpq 9611  df-enq 9612  df-nq 9613  df-erq 9614  df-plq 9615  df-mq 9616  df-1nq 9617  df-rq 9618  df-ltnq 9619  df-np 9682  df-plp 9684  df-ltp 9686  df-enr 9756  df-nr 9757  df-c 9821  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-hom 15793  df-cco 15794  df-setc 16549  df-estrc 16586
This theorem is referenced by:  funcsetcestrc  16627  fthsetcestrc  16628  fullsetcestrc  16629
  Copyright terms: Public domain W3C validator