Theorem funcsetcestrclem7 16624

Description: Lemma 7 for funcsetcestrc 16627. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑𝑚 𝑥))))
funcsetcestrc.e	⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
funcsetcestrclem7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑆)‘𝑋)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcsetcestrc.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
2		funcsetcestrc.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
3		funcsetcestrc.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
4		funcsetcestrc.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
5		funcsetcestrc.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
6		funcsetcestrc.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑𝑚 𝑥))))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	funcsetcestrclem5 16622	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐺𝑋) = ( I ↾ (𝑋 ↑𝑚 𝑋)))
8	7	anabsan2 859	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝑋𝐺𝑋) = ( I ↾ (𝑋 ↑𝑚 𝑋)))
9		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (Id‘𝑆) = (Id‘𝑆)
10	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑈 ∈ WUni)
11	1, 4	setcbas 16551	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝑆))
12	11, 2	syl6reqr 2663	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝑈)
13	12	eleq2d 2673	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))
14	13	biimpa 500	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ 𝑈)
15	1, 9, 10, 14	setcid 16559	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((Id‘𝑆)‘𝑋) = ( I ↾ 𝑋))
16	8, 15	fveq12d 6109	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑆)‘𝑋)) = (( I ↾ (𝑋 ↑𝑚 𝑋))‘( I ↾ 𝑋)))
17		f1oi 6086	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝑋):𝑋–1-1-onto→𝑋
18		f1of 6050	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝑋):𝑋–1-1-onto→𝑋 → ( I ↾ 𝑋):𝑋⟶𝑋)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝑋):𝑋⟶𝑋
20		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ 𝐶)
21		elmapg 7757	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (( I ↾ 𝑋) ∈ (𝑋 ↑𝑚 𝑋) ↔ ( I ↾ 𝑋):𝑋⟶𝑋))
22	20, 21	sylancom 698	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (( I ↾ 𝑋) ∈ (𝑋 ↑𝑚 𝑋) ↔ ( I ↾ 𝑋):𝑋⟶𝑋))
23	19, 22	mpbiri 247	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝑋 ↑𝑚 𝑋))
24		fvresi 6344	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝑋) ∈ (𝑋 ↑𝑚 𝑋) → (( I ↾ (𝑋 ↑𝑚 𝑋))‘( I ↾ 𝑋)) = ( I ↾ 𝑋))
25	23, 24	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (( I ↾ (𝑋 ↑𝑚 𝑋))‘( I ↾ 𝑋)) = ( I ↾ 𝑋))
26		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}
27	26	1strbas 15806	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → 𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
28	20, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
29	28	reseq2d 5317	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ( I ↾ 𝑋) = ( I ↾ (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})))
30	25, 29	eqtrd 2644	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (( I ↾ (𝑋 ↑𝑚 𝑋))‘( I ↾ 𝑋)) = ( I ↾ (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})))
31	1, 2, 3	funcsetcestrclem1 16617	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑋) = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})
32	31	fveq2d 6107	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑋)) = ((Id‘𝐸)‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
33		funcsetcestrc.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
34		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐸) = (Id‘𝐸)
35	1, 2, 4, 5	setc1strwun 16616	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} ∈ 𝑈)
36	33, 34, 10, 35	estrcid 16597	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((Id‘𝐸)‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}) = ( I ↾ (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})))
37	32, 36	eqtr2d 2645	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ( I ↾ (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑋)))
38	16, 30, 37	3eqtrd 2648	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑆)‘𝑋)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {csn 4125  ⟨cop 4131   ↦ cmpt 4643   I cid 4948   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  ωcom 6957   ↑_𝑚 cmap 7744  WUnicwun 9401  ndxcnx 15692  Basecbs 15695  Idccid 16149  SetCatcsetc 16548  ExtStrCatcestrc 16585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-wun 9403  df-ni 9573  df-pli 9574  df-mi 9575  df-lti 9576  df-plpq 9609  df-mpq 9610  df-ltpq 9611  df-enq 9612  df-nq 9613  df-erq 9614  df-plq 9615  df-mq 9616  df-1nq 9617  df-rq 9618  df-ltnq 9619  df-np 9682  df-plp 9684  df-ltp 9686  df-enr 9756  df-nr 9757  df-c 9821  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-hom 15793  df-cco 15794  df-cat 16152  df-cid 16153  df-setc 16549  df-estrc 16586

This theorem is referenced by:  funcsetcestrc  16627