Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  funcringcsetcALTV2lem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcringcsetcALTV2lem7 41834
 Description: Lemma 7 for funcringcsetcALTV2 41837. (Contributed by AV, 15-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
funcringcsetcALTV2.r 𝑅 = (RingCat‘𝑈)
funcringcsetcALTV2.s 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcringcsetcALTV2.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
funcringcsetcALTV2.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcringcsetcALTV2.u (𝜑𝑈 ∈ WUni)
funcringcsetcALTV2.f (𝜑𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (Base‘𝑥)))
funcringcsetcALTV2.g (𝜑𝐺 = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥 RingHom 𝑦))))
Assertion
Ref Expression
funcringcsetcALTV2lem7 ((𝜑𝑋𝐵) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑅)‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝐶   𝑦,𝐵,𝑥   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcringcsetcALTV2lem7
StepHypRef Expression
1 funcringcsetcALTV2.r . . . . 5 𝑅 = (RingCat‘𝑈)
2 funcringcsetcALTV2.s . . . . 5 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
3 funcringcsetcALTV2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 funcringcsetcALTV2.c . . . . 5 𝐶 = (Base‘𝑆)
5 funcringcsetcALTV2.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
6 funcringcsetcALTV2.f . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (Base‘𝑥)))
7 funcringcsetcALTV2.g . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥 RingHom 𝑦))))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7funcringcsetcALTV2lem5 41832 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐵)) → (𝑋𝐺𝑋) = ( I ↾ (𝑋 RingHom 𝑋)))
98anabsan2 859 . . 3 ((𝜑𝑋𝐵) → (𝑋𝐺𝑋) = ( I ↾ (𝑋 RingHom 𝑋)))
10 eqid 2610 . . . 4 (Id‘𝑅) = (Id‘𝑅)
115adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐵) → 𝑈 ∈ WUni)
12 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
13 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
141, 3, 10, 11, 12, 13ringcid 41817 . . 3 ((𝜑𝑋𝐵) → ((Id‘𝑅)‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
159, 14fveq12d 6109 . 2 ((𝜑𝑋𝐵) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑅)‘𝑋)) = (( I ↾ (𝑋 RingHom 𝑋))‘( I ↾ (Base‘𝑋))))
161, 3, 5ringcbas 41803 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
1716eleq2d 2673 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐵𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
18 elin 3758 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Ring) ↔ (𝑋𝑈𝑋 ∈ Ring))
1918simprbi 479 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → 𝑋 ∈ Ring)
2017, 19syl6bi 242 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐵𝑋 ∈ Ring))
2120imp 444 . . 3 ((𝜑𝑋𝐵) → 𝑋 ∈ Ring)
2213idrhm 18554 . . 3 (𝑋 ∈ Ring → ( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ (𝑋 RingHom 𝑋))
23 fvresi 6344 . . 3 (( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ (𝑋 RingHom 𝑋) → (( I ↾ (𝑋 RingHom 𝑋))‘( I ↾ (Base‘𝑋))) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
2421, 22, 233syl 18 . 2 ((𝜑𝑋𝐵) → (( I ↾ (𝑋 RingHom 𝑋))‘( I ↾ (Base‘𝑋))) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
251, 2, 3, 4, 5, 6funcringcsetcALTV2lem1 41828 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) = (Base‘𝑋))
2625fveq2d 6107 . . 3 ((𝜑𝑋𝐵) → ((Id‘𝑆)‘(𝐹𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(Base‘𝑋)))
27 eqid 2610 . . . 4 (Id‘𝑆) = (Id‘𝑆)
281, 3, 5ringcbasbas 41826 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐵) → (Base‘𝑋) ∈ 𝑈)
292, 27, 11, 28setcid 16559 . . 3 ((𝜑𝑋𝐵) → ((Id‘𝑆)‘(Base‘𝑋)) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
3026, 29eqtr2d 2645 . 2 ((𝜑𝑋𝐵) → ( I ↾ (Base‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹𝑋)))
3115, 24, 303eqtrd 2648 1 ((𝜑𝑋𝐵) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑅)‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539   ↦ cmpt 4643   I cid 4948   ↾ cres 5040  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  WUnicwun 9401  Basecbs 15695  Idccid 16149  SetCatcsetc 16548  Ringcrg 18370   RingHom crh 18535  RingCatcringc 41795 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-wun 9403  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-cat 16152  df-cid 16153  df-homf 16154  df-ssc 16293  df-resc 16294  df-subc 16295  df-setc 16549  df-estrc 16586  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-ghm 17481  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-rnghom 18538  df-ringc 41797 This theorem is referenced by:  funcringcsetcALTV2  41837
 Copyright terms: Public domain W3C validator