Theorem firest 15916

Description: The finite intersections operator commutes with restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
firest	⊢ (fi‘(𝐽 ↾t 𝐴)) = ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)

Proof of Theorem firest

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 6577	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ V
2		elfi2 8203	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ V → (𝑥 ∈ (fi‘(𝐽 ↾t 𝐴)) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})𝑥 = ∩ 𝑦))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (fi‘(𝐽 ↾t 𝐴)) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})𝑥 = ∩ 𝑦)
4		eldifi 3694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin))
5	4	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin))
6		elfpw 8151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) ↔ (𝑦 ⊆ (𝐽 ↾t 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Fin))
7	6	simprbi 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
8	5, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ∈ Fin)
9	6	simplbi 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ (𝐽 ↾t 𝐴))
10	5, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ⊆ (𝐽 ↾t 𝐴))
11	10	sseld 3567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)))
12		elrest 15911	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑧 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐽 𝑧 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑧 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐽 𝑧 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
14	11, 13	sylibd 228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 𝑧 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
15	14	ralrimiv 2948	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑦 ∈ 𝐽 𝑧 = (𝑦 ∩ 𝐴))
16		ineq1 3769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑧) → (𝑦 ∩ 𝐴) = ((𝑓‘𝑧) ∩ 𝐴))
17	16	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑧) → (𝑧 = (𝑦 ∩ 𝐴) ↔ 𝑧 = ((𝑓‘𝑧) ∩ 𝐴)))
18	17	ac6sfi 8089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑦 ∈ 𝐽 𝑧 = (𝑦 ∩ 𝐴)) → ∃𝑓(𝑓:𝑦⟶𝐽 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 = ((𝑓‘𝑧) ∩ 𝐴)))
19	8, 15, 18	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → ∃𝑓(𝑓:𝑦⟶𝐽 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 = ((𝑓‘𝑧) ∩ 𝐴)))
20		eldifsni 4261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ≠ ∅)
21	20	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦⟶𝐽) → 𝑦 ≠ ∅)
22		iinin1 4527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ≠ ∅ → ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑓‘𝑧) ∩ 𝐴) = (∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑓‘𝑧) ∩ 𝐴))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦⟶𝐽) → ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑓‘𝑧) ∩ 𝐴) = (∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑓‘𝑧) ∩ 𝐴))
24		fvex 6113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (fi‘𝐽) ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦⟶𝐽) → (fi‘𝐽) ∈ V)
26		simpllr 795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦⟶𝐽) → 𝐴 ∈ V)
27		ffn 5958	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓:𝑦⟶𝐽 → 𝑓 Fn 𝑦)
28	27	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦⟶𝐽) → 𝑓 Fn 𝑦)
29		fniinfv 6167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 Fn 𝑦 → ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑓‘𝑧) = ∩ ran 𝑓)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦⟶𝐽) → ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑓‘𝑧) = ∩ ran 𝑓)
31		simplll 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦⟶𝐽) → 𝐽 ∈ V)
32		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦⟶𝐽) → 𝑓:𝑦⟶𝐽)
33	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦⟶𝐽) → 𝑦 ∈ Fin)
34		intrnfi 8205	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ (𝑓:𝑦⟶𝐽 ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → ∩ ran 𝑓 ∈ (fi‘𝐽))
35	31, 32, 21, 33, 34	syl13anc 1320	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦⟶𝐽) → ∩ ran 𝑓 ∈ (fi‘𝐽))
36	30, 35	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦⟶𝐽) → ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑓‘𝑧) ∈ (fi‘𝐽))
37		elrestr 15912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((fi‘𝐽) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑓‘𝑧) ∈ (fi‘𝐽)) → (∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑓‘𝑧) ∩ 𝐴) ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
38	25, 26, 36, 37	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦⟶𝐽) → (∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑓‘𝑧) ∩ 𝐴) ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
39	23, 38	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦⟶𝐽) → ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑓‘𝑧) ∩ 𝐴) ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
40		intiin 4510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∩ 𝑦 = ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧
41		iineq2 4474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 = ((𝑓‘𝑧) ∩ 𝐴) → ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 = ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑓‘𝑧) ∩ 𝐴))
42	40, 41	syl5eq 2656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 = ((𝑓‘𝑧) ∩ 𝐴) → ∩ 𝑦 = ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑓‘𝑧) ∩ 𝐴))
43	42	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 = ((𝑓‘𝑧) ∩ 𝐴) → (∩ 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) ↔ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑓‘𝑧) ∩ 𝐴) ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
44	39, 43	syl5ibrcom 236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦⟶𝐽) → (∀𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 = ((𝑓‘𝑧) ∩ 𝐴) → ∩ 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
45	44	expimpd 627	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → ((𝑓:𝑦⟶𝐽 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 = ((𝑓‘𝑧) ∩ 𝐴)) → ∩ 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
46	45	exlimdv 1848	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → (∃𝑓(𝑓:𝑦⟶𝐽 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 = ((𝑓‘𝑧) ∩ 𝐴)) → ∩ 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
47	19, 46	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → ∩ 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
48		eleq1 2676	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∩ 𝑦 → (𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) ↔ ∩ 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
49	47, 48	syl5ibrcom 236	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑥 = ∩ 𝑦 → 𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
50	49	rexlimdva 3013	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽 ↾t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})𝑥 = ∩ 𝑦 → 𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
51	3, 50	syl5bi 231	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (fi‘(𝐽 ↾t 𝐴)) → 𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
52		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
53		elrest 15911	. . . . . 6 ⊢ (((fi‘𝐽) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐽)𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴)))
54	24, 52, 53	sylancr 694	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐽)𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴)))
55		elfi2 8203	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ V → (𝑧 ∈ (fi‘𝐽) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = ∩ 𝑦))
56	55	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑧 ∈ (fi‘𝐽) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = ∩ 𝑦))
57		eldifsni 4261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ≠ ∅)
58	57	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ≠ ∅)
59		iinin1 4527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ≠ ∅ → ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ∩ 𝐴) = (∩ 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 ∩ 𝐴))
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ∩ 𝐴) = (∩ 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 ∩ 𝐴))
61	40	ineq1i 3772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∩ 𝑦 ∩ 𝐴) = (∩ 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 ∩ 𝐴)
62	60, 61	syl6eqr 2662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ∩ 𝐴) = (∩ 𝑦 ∩ 𝐴))
63	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ V)
64		eldifi 3694	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐽 ∩ Fin))
65	64	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐽 ∩ Fin))
66		elfpw 8151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐽 ∩ Fin) ↔ (𝑦 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
67	66	simplbi 475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐽 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐽)
68	65, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ⊆ 𝐽)
69		elrestr 15912	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) → (𝑧 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
70	69	3expa 1257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) → (𝑧 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
71	70	ralrimiva 2949	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑧 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
72	71	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → ∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑧 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
73		ssralv 3629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝐽 → (∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑧 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)))
74	68, 72, 73	sylc 63	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
75	66	simprbi 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐽 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
76	65, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ∈ Fin)
77		iinfi 8206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ V ∧ (∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ∩ 𝐴) ∈ (fi‘(𝐽 ↾t 𝐴)))
78	63, 74, 58, 76, 77	syl13anc 1320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ∩ 𝐴) ∈ (fi‘(𝐽 ↾t 𝐴)))
79	62, 78	eqeltrrd 2689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (∩ 𝑦 ∩ 𝐴) ∈ (fi‘(𝐽 ↾t 𝐴)))
80		eleq1 2676	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (∩ 𝑦 ∩ 𝐴) → (𝑥 ∈ (fi‘(𝐽 ↾t 𝐴)) ↔ (∩ 𝑦 ∩ 𝐴) ∈ (fi‘(𝐽 ↾t 𝐴))))
81	79, 80	syl5ibrcom 236	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑥 = (∩ 𝑦 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽 ↾t 𝐴))))
82		ineq1 3769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = ∩ 𝑦 → (𝑧 ∩ 𝐴) = (∩ 𝑦 ∩ 𝐴))
83	82	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = ∩ 𝑦 → (𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 = (∩ 𝑦 ∩ 𝐴)))
84	83	imbi1d 330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = ∩ 𝑦 → ((𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽 ↾t 𝐴))) ↔ (𝑥 = (∩ 𝑦 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽 ↾t 𝐴)))))
85	81, 84	syl5ibrcom 236	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑧 = ∩ 𝑦 → (𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽 ↾t 𝐴)))))
86	85	rexlimdva 3013	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = ∩ 𝑦 → (𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽 ↾t 𝐴)))))
87	56, 86	sylbid 229	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑧 ∈ (fi‘𝐽) → (𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽 ↾t 𝐴)))))
88	87	rexlimdv 3012	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑧 ∈ (fi‘𝐽)𝑥 = (𝑧 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽 ↾t 𝐴))))
89	54, 88	sylbid 229	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽 ↾t 𝐴))))
90	51, 89	impbid 201	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (fi‘(𝐽 ↾t 𝐴)) ↔ 𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
91	90	eqrdv 2608	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (fi‘(𝐽 ↾t 𝐴)) = ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
92		fi0 8209	. . 3 ⊢ (fi‘∅) = ∅
93		relxp 5150	. . . . . 6 ⊢ Rel (V × V)
94		restfn 15908	. . . . . . . 8 ⊢ ↾t Fn (V × V)
95		fndm 5904	. . . . . . . 8 ⊢ ( ↾t Fn (V × V) → dom ↾t = (V × V))
96	94, 95	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom ↾t = (V × V)
97	96	releqi 5125	. . . . . 6 ⊢ (Rel dom ↾t ↔ Rel (V × V))
98	93, 97	mpbir 220	. . . . 5 ⊢ Rel dom ↾t
99	98	ovprc 6581	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐽 ↾t 𝐴) = ∅)
100	99	fveq2d 6107	. . 3 ⊢ (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (fi‘(𝐽 ↾t 𝐴)) = (fi‘∅))
101		ianor 508	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ (¬ 𝐽 ∈ V ∨ ¬ 𝐴 ∈ V))
102		fvprc 6097	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐽 ∈ V → (fi‘𝐽) = ∅)
103	102	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐽 ∈ V → ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) = (∅ ↾t 𝐴))
104		0rest 15913	. . . . . 6 ⊢ (∅ ↾t 𝐴) = ∅
105	103, 104	syl6eq 2660	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐽 ∈ V → ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) = ∅)
106	98	ovprc2 6583	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) = ∅)
107	105, 106	jaoi 393	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐽 ∈ V ∨ ¬ 𝐴 ∈ V) → ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) = ∅)
108	101, 107	sylbi 206	. . 3 ⊢ (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) = ∅)
109	92, 100, 108	3eqtr4a 2670	. 2 ⊢ (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (fi‘(𝐽 ↾t 𝐴)) = ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
110	91, 109	pm2.61i 175	1 ⊢ (fi‘(𝐽 ↾t 𝐴)) = ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  ∩ cint 4410  ∩ ciin 4456   × cxp 5036  dom cdm 5038  ran crn 5039  Rel wrel 5043   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ficfi 8199   ↾_t crest 15904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-fin 7845  df-fi 8200  df-rest 15906

This theorem is referenced by:  ordtrest2  20818  xkoptsub  21267  ordtrest2NEW  29297  ptrest  32578