MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  firest Structured version   Unicode version

Theorem firest 14354
Description: The finite intersections operator commutes with restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
firest  |-  ( fi
`  ( Jt  A ) )  =  ( ( fi `  J )t  A )

Proof of Theorem firest
Dummy variables  x  f  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6105 . . . . . 6  |-  ( Jt  A )  e.  _V
2 elfi2 7652 . . . . . 6  |-  ( ( Jt  A )  e.  _V  ->  ( x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) )  <->  E. y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) x  =  |^| y
) )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) )  <->  E. y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) x  =  |^| y
)
4 eldifi 3466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } )  ->  y  e.  ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin ) )
54adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  e.  ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin ) )
6 elfpw 7601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin ) 
<->  ( y  C_  ( Jt  A )  /\  y  e.  Fin ) )
76simprbi 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
85, 7syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  e.  Fin )
96simplbi 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  ->  y  C_  ( Jt  A ) )
105, 9syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  C_  ( Jt  A ) )
1110sseld 3343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( z  e.  y  ->  z  e.  ( Jt  A ) ) )
12 elrest 14349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. y  e.  J  z  =  ( y  i^i  A
) ) )
1312adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. y  e.  J  z  =  ( y  i^i  A
) ) )
1411, 13sylibd 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( z  e.  y  ->  E. y  e.  J  z  =  ( y  i^i  A
) ) )
1514ralrimiv 2788 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  A. z  e.  y  E. y  e.  J  z  =  ( y  i^i  A ) )
16 ineq1 3533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( f `  z )  ->  (
y  i^i  A )  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A ) )
1716eqeq2d 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( f `  z )  ->  (
z  =  ( y  i^i  A )  <->  z  =  ( ( f `  z )  i^i  A
) ) )
1817ac6sfi 7544 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  A. z  e.  y  E. y  e.  J  z  =  ( y  i^i 
A ) )  ->  E. f ( f : y --> J  /\  A. z  e.  y  z  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A ) ) )
198, 15, 18syl2anc 654 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  E. f ( f : y --> J  /\  A. z  e.  y  z  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A ) ) )
20 eldifsni 3989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } )  ->  y  =/=  (/) )
2120ad2antlr 719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
y  =/=  (/) )
22 iinin1 4229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =/=  (/)  ->  |^|_ z  e.  y  ( ( f `
 z )  i^i 
A )  =  (
|^|_ z  e.  y  ( f `  z
)  i^i  A )
)
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  |^|_ z  e.  y  ( ( f `  z
)  i^i  A )  =  ( |^|_ z  e.  y  ( f `  z )  i^i  A
) )
24 fvex 5689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( fi
`  J )  e. 
_V
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
( fi `  J
)  e.  _V )
26 simpllr 751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  A  e.  _V )
27 ffn 5547 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : y --> J  -> 
f  Fn  y )
2827adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
f  Fn  y )
29 fniinfv 5738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  Fn  y  ->  |^|_ z  e.  y  ( f `  z )  =  |^| ran  f )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  |^|_ z  e.  y  ( f `  z )  =  |^| ran  f
)
31 simplll 750 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  J  e.  _V )
32 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
f : y --> J )
338adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
y  e.  Fin )
34 intrnfi 7654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  _V  /\  ( f : y --> J  /\  y  =/=  (/)  /\  y  e.  Fin ) )  ->  |^| ran  f  e.  ( fi `  J ) )
3531, 32, 21, 33, 34syl13anc 1213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  |^| ran  f  e.  ( fi `  J ) )
3630, 35eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  |^|_ z  e.  y  ( f `  z )  e.  ( fi `  J ) )
37 elrestr 14350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( fi `  J
)  e.  _V  /\  A  e.  _V  /\  |^|_ z  e.  y  (
f `  z )  e.  ( fi `  J
) )  ->  ( |^|_ z  e.  y  ( f `  z )  i^i  A )  e.  ( ( fi `  J )t  A ) )
3825, 26, 36, 37syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
( |^|_ z  e.  y  ( f `  z
)  i^i  A )  e.  ( ( fi `  J )t  A ) )
3923, 38eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  |^|_ z  e.  y  ( ( f `  z
)  i^i  A )  e.  ( ( fi `  J )t  A ) )
40 intiin 4212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  |^| y  =  |^|_ z  e.  y  z
41 iineq2 4176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  y  z  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A )  ->  |^|_ z  e.  y  z  =  |^|_ z  e.  y  ( ( f `  z
)  i^i  A )
)
4240, 41syl5eq 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  y  z  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A )  ->  |^| y  =  |^|_ z  e.  y  ( ( f `  z )  i^i  A
) )
4342eleq1d 2499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  y  z  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A )  ->  ( |^| y  e.  (
( fi `  J
)t 
A )  <->  |^|_ z  e.  y  ( ( f `
 z )  i^i 
A )  e.  ( ( fi `  J
)t 
A ) ) )
4439, 43syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
( A. z  e.  y  z  =  ( ( f `  z
)  i^i  A )  ->  |^| y  e.  ( ( fi `  J
)t 
A ) ) )
4544expimpd 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( ( f : y --> J  /\  A. z  e.  y  z  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A ) )  ->  |^| y  e.  (
( fi `  J
)t 
A ) ) )
4645exlimdv 1689 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( E. f
( f : y --> J  /\  A. z  e.  y  z  =  ( ( f `  z )  i^i  A
) )  ->  |^| y  e.  ( ( fi `  J )t  A ) ) )
4719, 46mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  |^| y  e.  ( ( fi `  J
)t 
A ) )
48 eleq1 2493 . . . . . . 7  |-  ( x  =  |^| y  -> 
( x  e.  ( ( fi `  J
)t 
A )  <->  |^| y  e.  ( ( fi `  J )t  A ) ) )
4947, 48syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( x  = 
|^| y  ->  x  e.  ( ( fi `  J )t  A ) ) )
5049rexlimdva 2831 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( E. y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) x  =  |^| y  ->  x  e.  ( ( fi `  J )t  A ) ) )
513, 50syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) )  ->  x  e.  ( ( fi `  J )t  A ) ) )
52 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
53 elrest 14349 . . . . . 6  |-  ( ( ( fi `  J
)  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( ( fi `  J
)t 
A )  <->  E. z  e.  ( fi `  J
) x  =  ( z  i^i  A ) ) )
5424, 52, 53sylancr 656 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( ( fi `  J
)t 
A )  <->  E. z  e.  ( fi `  J
) x  =  ( z  i^i  A ) ) )
55 elfi2 7652 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  _V  ->  (
z  e.  ( fi
`  J )  <->  E. y  e.  ( ( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) z  = 
|^| y ) )
5655adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( fi `  J )  <->  E. y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) z  =  |^| y ) )
57 eldifsni 3989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } )  -> 
y  =/=  (/) )
5857adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  =/=  (/) )
59 iinin1 4229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =/=  (/)  ->  |^|_ z  e.  y  ( z  i^i 
A )  =  (
|^|_ z  e.  y  z  i^i  A ) )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  |^|_ z  e.  y  ( z  i^i  A )  =  (
|^|_ z  e.  y  z  i^i  A ) )
6140ineq1i 3536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( |^| y  i^i  A )  =  ( |^|_ z  e.  y  z  i^i  A )
6260, 61syl6eqr 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  |^|_ z  e.  y  ( z  i^i  A )  =  (
|^| y  i^i  A
) )
631a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( Jt  A )  e.  _V )
64 eldifi 3466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } )  -> 
y  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
)
6564adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) )
66 elfpw 7601 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  <->  ( y  C_  J  /\  y  e. 
Fin ) )
6766simplbi 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  ->  y  C_  J )
6865, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  C_  J )
69 elrestr 14350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V  /\  z  e.  J )  ->  (
z  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
70693expa 1180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  z  e.  J
)  ->  ( z  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
7170ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  A. z  e.  J  ( z  i^i  A
)  e.  ( Jt  A ) )
7271adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  A. z  e.  J  ( z  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
73 ssralv 3404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  J  ->  ( A. z  e.  J  ( z  i^i  A
)  e.  ( Jt  A )  ->  A. z  e.  y  ( z  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) ) )
7468, 72, 73sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  A. z  e.  y  ( z  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
7566simprbi 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
7665, 75syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  e.  Fin )
77 iinfi 7655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Jt  A )  e.  _V  /\  ( A. z  e.  y  ( z  i^i 
A )  e.  ( Jt  A )  /\  y  =/=  (/)  /\  y  e. 
Fin ) )  ->  |^|_ z  e.  y  ( z  i^i  A )  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) )
7863, 74, 58, 76, 77syl13anc 1213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  |^|_ z  e.  y  ( z  i^i  A )  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) )
7962, 78eqeltrrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( |^| y  i^i  A )  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) )
80 eleq1 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( |^| y  i^i  A )  ->  (
x  e.  ( fi
`  ( Jt  A ) )  <->  ( |^| y  i^i  A )  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) )
8179, 80syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  (
x  =  ( |^| y  i^i  A )  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) )
82 ineq1 3533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  |^| y  -> 
( z  i^i  A
)  =  ( |^| y  i^i  A ) )
8382eqeq2d 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  |^| y  -> 
( x  =  ( z  i^i  A )  <-> 
x  =  ( |^| y  i^i  A ) ) )
8483imbi1d 317 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  |^| y  -> 
( ( x  =  ( z  i^i  A
)  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) )  <->  ( x  =  ( |^| y  i^i  A )  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) ) )
8581, 84syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  (
z  =  |^| y  ->  ( x  =  ( z  i^i  A )  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) ) )
8685rexlimdva 2831 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( E. y  e.  ( ( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) z  = 
|^| y  ->  (
x  =  ( z  i^i  A )  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) ) )
8756, 86sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( fi `  J )  ->  ( x  =  ( z  i^i  A
)  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) ) )
8887rexlimdv 2830 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( E. z  e.  ( fi `  J
) x  =  ( z  i^i  A )  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) )
8954, 88sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( ( fi `  J
)t 
A )  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) )
9051, 89impbid 191 . . 3  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) )  <->  x  e.  ( ( fi `  J )t  A ) ) )
9190eqrdv 2431 . 2  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( fi `  ( Jt  A ) )  =  ( ( fi `  J )t  A ) )
92 fi0 7658 . . 3  |-  ( fi
`  (/) )  =  (/)
93 relxp 4934 . . . . . 6  |-  Rel  ( _V  X.  _V )
94 restfn 14346 . . . . . . . 8  |-t  Fn  ( _V  X.  _V )
95 fndm 5498 . . . . . . . 8  |-  (t  Fn  ( _V  X.  _V )  ->  domt  =  ( _V  X.  _V ) )
9694, 95ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  domt  =  ( _V  X.  _V )
9796releqi 4910 . . . . . 6  |-  ( Rel 
domt  <->  Rel  ( _V  X.  _V ) )
9893, 97mpbir 209 . . . . 5  |-  Rel  domt
9998ovprc 6107 . . . 4  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( Jt  A )  =  (/) )
10099fveq2d 5683 . . 3  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( fi `  ( Jt  A ) )  =  ( fi `  (/) ) )
101 ianor 485 . . . 4  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  <->  ( -.  J  e.  _V  \/  -.  A  e.  _V ) )
102 fvprc 5673 . . . . . . 7  |-  ( -.  J  e.  _V  ->  ( fi `  J )  =  (/) )
103102oveq1d 6095 . . . . . 6  |-  ( -.  J  e.  _V  ->  ( ( fi `  J
)t 
A )  =  (
(/)t  A ) )
104 0rest 14351 . . . . . 6  |-  ( (/)t  A )  =  (/)
105103, 104syl6eq 2481 . . . . 5  |-  ( -.  J  e.  _V  ->  ( ( fi `  J
)t 
A )  =  (/) )
10698ovprc2 6109 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( fi `  J
)t 
A )  =  (/) )
107105, 106jaoi 379 . . . 4  |-  ( ( -.  J  e.  _V  \/  -.  A  e.  _V )  ->  ( ( fi
`  J )t  A )  =  (/) )
108101, 107sylbi 195 . . 3  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( ( fi `  J )t  A )  =  (/) )
10992, 100, 1083eqtr4a 2491 . 2  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( fi `  ( Jt  A ) )  =  ( ( fi `  J )t  A ) )
11091, 109pm2.61i 164 1  |-  ( fi
`  ( Jt  A ) )  =  ( ( fi `  J )t  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1362   E.wex 1589    e. wcel 1755    =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2962    \ cdif 3313    i^i cin 3315    C_ wss 3316   (/)c0 3625   ~Pcpw 3848   {csn 3865   |^|cint 4116   |^|_ciin 4160    X. cxp 4825   dom cdm 4827   ran crn 4828   Rel wrel 4832    Fn wfn 5401   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   Fincfn 7298   ficfi 7648   ↾t crest 14342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-1o 6908  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-fin 7302  df-fi 7649  df-rest 14344
This theorem is referenced by:  ordtrest2  18650  xkoptsub  19069  ordtrest2NEW  26207  ptrest  28269
  Copyright terms: Public domain W3C validator