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Theorem firest 15324
Description: The finite intersections operator commutes with restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
firest  |-  ( fi
`  ( Jt  A ) )  =  ( ( fi `  J )t  A )

Proof of Theorem firest
Dummy variables  x  f  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6331 . . . . . 6  |-  ( Jt  A )  e.  _V
2 elfi2 7932 . . . . . 6  |-  ( ( Jt  A )  e.  _V  ->  ( x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) )  <->  E. y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) x  =  |^| y
) )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) )  <->  E. y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) x  =  |^| y
)
4 eldifi 3588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } )  ->  y  e.  ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin ) )
54adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  e.  ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin ) )
6 elfpw 7880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin ) 
<->  ( y  C_  ( Jt  A )  /\  y  e.  Fin ) )
76simprbi 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
85, 7syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  e.  Fin )
96simplbi 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  ->  y  C_  ( Jt  A ) )
105, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  C_  ( Jt  A ) )
1110sseld 3464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( z  e.  y  ->  z  e.  ( Jt  A ) ) )
12 elrest 15319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. y  e.  J  z  =  ( y  i^i  A
) ) )
1312adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. y  e.  J  z  =  ( y  i^i  A
) ) )
1411, 13sylibd 218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( z  e.  y  ->  E. y  e.  J  z  =  ( y  i^i  A
) ) )
1514ralrimiv 2838 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  A. z  e.  y  E. y  e.  J  z  =  ( y  i^i  A ) )
16 ineq1 3658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( f `  z )  ->  (
y  i^i  A )  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A ) )
1716eqeq2d 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( f `  z )  ->  (
z  =  ( y  i^i  A )  <->  z  =  ( ( f `  z )  i^i  A
) ) )
1817ac6sfi 7819 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  A. z  e.  y  E. y  e.  J  z  =  ( y  i^i 
A ) )  ->  E. f ( f : y --> J  /\  A. z  e.  y  z  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A ) ) )
198, 15, 18syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  E. f ( f : y --> J  /\  A. z  e.  y  z  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A ) ) )
20 eldifsni 4124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } )  ->  y  =/=  (/) )
2120ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
y  =/=  (/) )
22 iinin1 4368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =/=  (/)  ->  |^|_ z  e.  y  ( ( f `
 z )  i^i 
A )  =  (
|^|_ z  e.  y  ( f `  z
)  i^i  A )
)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  |^|_ z  e.  y  ( ( f `  z
)  i^i  A )  =  ( |^|_ z  e.  y  ( f `  z )  i^i  A
) )
24 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( fi
`  J )  e. 
_V
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
( fi `  J
)  e.  _V )
26 simpllr 768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  A  e.  _V )
27 ffn 5744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : y --> J  -> 
f  Fn  y )
2827adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
f  Fn  y )
29 fniinfv 5938 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  Fn  y  ->  |^|_ z  e.  y  ( f `  z )  =  |^| ran  f )
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  |^|_ z  e.  y  ( f `  z )  =  |^| ran  f
)
31 simplll 767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  J  e.  _V )
32 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
f : y --> J )
338adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
y  e.  Fin )
34 intrnfi 7934 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  _V  /\  ( f : y --> J  /\  y  =/=  (/)  /\  y  e.  Fin ) )  ->  |^| ran  f  e.  ( fi `  J ) )
3531, 32, 21, 33, 34syl13anc 1267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  |^| ran  f  e.  ( fi `  J ) )
3630, 35eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  |^|_ z  e.  y  ( f `  z )  e.  ( fi `  J ) )
37 elrestr 15320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( fi `  J
)  e.  _V  /\  A  e.  _V  /\  |^|_ z  e.  y  (
f `  z )  e.  ( fi `  J
) )  ->  ( |^|_ z  e.  y  ( f `  z )  i^i  A )  e.  ( ( fi `  J )t  A ) )
3825, 26, 36, 37syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
( |^|_ z  e.  y  ( f `  z
)  i^i  A )  e.  ( ( fi `  J )t  A ) )
3923, 38eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  |^|_ z  e.  y  ( ( f `  z
)  i^i  A )  e.  ( ( fi `  J )t  A ) )
40 intiin 4351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  |^| y  =  |^|_ z  e.  y  z
41 iineq2 4315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  y  z  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A )  ->  |^|_ z  e.  y  z  =  |^|_ z  e.  y  ( ( f `  z
)  i^i  A )
)
4240, 41syl5eq 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  y  z  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A )  ->  |^| y  =  |^|_ z  e.  y  ( ( f `  z )  i^i  A
) )
4342eleq1d 2492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  y  z  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A )  ->  ( |^| y  e.  (
( fi `  J
)t 
A )  <->  |^|_ z  e.  y  ( ( f `
 z )  i^i 
A )  e.  ( ( fi `  J
)t 
A ) ) )
4439, 43syl5ibrcom 226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
( A. z  e.  y  z  =  ( ( f `  z
)  i^i  A )  ->  |^| y  e.  ( ( fi `  J
)t 
A ) ) )
4544expimpd 607 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( ( f : y --> J  /\  A. z  e.  y  z  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A ) )  ->  |^| y  e.  (
( fi `  J
)t 
A ) ) )
4645exlimdv 1769 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( E. f
( f : y --> J  /\  A. z  e.  y  z  =  ( ( f `  z )  i^i  A
) )  ->  |^| y  e.  ( ( fi `  J )t  A ) ) )
4719, 46mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  |^| y  e.  ( ( fi `  J
)t 
A ) )
48 eleq1 2495 . . . . . . 7  |-  ( x  =  |^| y  -> 
( x  e.  ( ( fi `  J
)t 
A )  <->  |^| y  e.  ( ( fi `  J )t  A ) ) )
4947, 48syl5ibrcom 226 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( x  = 
|^| y  ->  x  e.  ( ( fi `  J )t  A ) ) )
5049rexlimdva 2918 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( E. y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) x  =  |^| y  ->  x  e.  ( ( fi `  J )t  A ) ) )
513, 50syl5bi 221 . . . 4  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) )  ->  x  e.  ( ( fi `  J )t  A ) ) )
52 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
53 elrest 15319 . . . . . 6  |-  ( ( ( fi `  J
)  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( ( fi `  J
)t 
A )  <->  E. z  e.  ( fi `  J
) x  =  ( z  i^i  A ) ) )
5424, 52, 53sylancr 668 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( ( fi `  J
)t 
A )  <->  E. z  e.  ( fi `  J
) x  =  ( z  i^i  A ) ) )
55 elfi2 7932 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  _V  ->  (
z  e.  ( fi
`  J )  <->  E. y  e.  ( ( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) z  = 
|^| y ) )
5655adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( fi `  J )  <->  E. y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) z  =  |^| y ) )
57 eldifsni 4124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } )  -> 
y  =/=  (/) )
5857adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  =/=  (/) )
59 iinin1 4368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =/=  (/)  ->  |^|_ z  e.  y  ( z  i^i 
A )  =  (
|^|_ z  e.  y  z  i^i  A ) )
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  |^|_ z  e.  y  ( z  i^i  A )  =  (
|^|_ z  e.  y  z  i^i  A ) )
6140ineq1i 3661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( |^| y  i^i  A )  =  ( |^|_ z  e.  y  z  i^i  A )
6260, 61syl6eqr 2482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  |^|_ z  e.  y  ( z  i^i  A )  =  (
|^| y  i^i  A
) )
631a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( Jt  A )  e.  _V )
64 eldifi 3588 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } )  -> 
y  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
)
6564adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) )
66 elfpw 7880 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  <->  ( y  C_  J  /\  y  e. 
Fin ) )
6766simplbi 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  ->  y  C_  J )
6865, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  C_  J )
69 elrestr 15320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V  /\  z  e.  J )  ->  (
z  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
70693expa 1206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  z  e.  J
)  ->  ( z  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
7170ralrimiva 2840 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  A. z  e.  J  ( z  i^i  A
)  e.  ( Jt  A ) )
7271adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  A. z  e.  J  ( z  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
73 ssralv 3526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  J  ->  ( A. z  e.  J  ( z  i^i  A
)  e.  ( Jt  A )  ->  A. z  e.  y  ( z  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) ) )
7468, 72, 73sylc 63 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  A. z  e.  y  ( z  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
7566simprbi 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
7665, 75syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  e.  Fin )
77 iinfi 7935 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Jt  A )  e.  _V  /\  ( A. z  e.  y  ( z  i^i 
A )  e.  ( Jt  A )  /\  y  =/=  (/)  /\  y  e. 
Fin ) )  ->  |^|_ z  e.  y  ( z  i^i  A )  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) )
7863, 74, 58, 76, 77syl13anc 1267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  |^|_ z  e.  y  ( z  i^i  A )  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) )
7962, 78eqeltrrd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( |^| y  i^i  A )  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) )
80 eleq1 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( |^| y  i^i  A )  ->  (
x  e.  ( fi
`  ( Jt  A ) )  <->  ( |^| y  i^i  A )  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) )
8179, 80syl5ibrcom 226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  (
x  =  ( |^| y  i^i  A )  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) )
82 ineq1 3658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  |^| y  -> 
( z  i^i  A
)  =  ( |^| y  i^i  A ) )
8382eqeq2d 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  |^| y  -> 
( x  =  ( z  i^i  A )  <-> 
x  =  ( |^| y  i^i  A ) ) )
8483imbi1d 319 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  |^| y  -> 
( ( x  =  ( z  i^i  A
)  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) )  <->  ( x  =  ( |^| y  i^i  A )  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) ) )
8581, 84syl5ibrcom 226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  (
z  =  |^| y  ->  ( x  =  ( z  i^i  A )  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) ) )
8685rexlimdva 2918 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( E. y  e.  ( ( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) z  = 
|^| y  ->  (
x  =  ( z  i^i  A )  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) ) )
8756, 86sylbid 219 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( fi `  J )  ->  ( x  =  ( z  i^i  A
)  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) ) )
8887rexlimdv 2916 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( E. z  e.  ( fi `  J
) x  =  ( z  i^i  A )  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) )
8954, 88sylbid 219 . . . 4  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( ( fi `  J
)t 
A )  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) )
9051, 89impbid 194 . . 3  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) )  <->  x  e.  ( ( fi `  J )t  A ) ) )
9190eqrdv 2420 . 2  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( fi `  ( Jt  A ) )  =  ( ( fi `  J )t  A ) )
92 fi0 7938 . . 3  |-  ( fi
`  (/) )  =  (/)
93 relxp 4959 . . . . . 6  |-  Rel  ( _V  X.  _V )
94 restfn 15316 . . . . . . . 8  |-t  Fn  ( _V  X.  _V )
95 fndm 5691 . . . . . . . 8  |-  (t  Fn  ( _V  X.  _V )  ->  domt  =  ( _V  X.  _V ) )
9694, 95ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  domt  =  ( _V  X.  _V )
9796releqi 4935 . . . . . 6  |-  ( Rel 
domt  <->  Rel  ( _V  X.  _V ) )
9893, 97mpbir 213 . . . . 5  |-  Rel  domt
9998ovprc 6333 . . . 4  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( Jt  A )  =  (/) )
10099fveq2d 5883 . . 3  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( fi `  ( Jt  A ) )  =  ( fi `  (/) ) )
101 ianor 491 . . . 4  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  <->  ( -.  J  e.  _V  \/  -.  A  e.  _V ) )
102 fvprc 5873 . . . . . . 7  |-  ( -.  J  e.  _V  ->  ( fi `  J )  =  (/) )
103102oveq1d 6318 . . . . . 6  |-  ( -.  J  e.  _V  ->  ( ( fi `  J
)t 
A )  =  (
(/)t  A ) )
104 0rest 15321 . . . . . 6  |-  ( (/)t  A )  =  (/)
105103, 104syl6eq 2480 . . . . 5  |-  ( -.  J  e.  _V  ->  ( ( fi `  J
)t 
A )  =  (/) )
10698ovprc2 6335 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( fi `  J
)t 
A )  =  (/) )
107105, 106jaoi 381 . . . 4  |-  ( ( -.  J  e.  _V  \/  -.  A  e.  _V )  ->  ( ( fi
`  J )t  A )  =  (/) )
108101, 107sylbi 199 . . 3  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( ( fi `  J )t  A )  =  (/) )
10992, 100, 1083eqtr4a 2490 . 2  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( fi `  ( Jt  A ) )  =  ( ( fi `  J )t  A ) )
11091, 109pm2.61i 168 1  |-  ( fi
`  ( Jt  A ) )  =  ( ( fi `  J )t  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1438   E.wex 1660    e. wcel 1869    =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3082    \ cdif 3434    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3762   ~Pcpw 3980   {csn 3997   |^|cint 4253   |^|_ciin 4298    X. cxp 4849   dom cdm 4851   ran crn 4852   Rel wrel 4856    Fn wfn 5594   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   Fincfn 7575   ficfi 7928   ↾t crest 15312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-1o 7188  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-fin 7579  df-fi 7929  df-rest 15314
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