Theorem firest 15324

Description: The finite intersections operator commutes with restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
firest	|- ( fi ` ( J ↾t A ) ) = ( ( fi ` J ) ↾t A )

Proof of Theorem firest

Dummy variables x f y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 6331	. . . . . 6 |- ( J ↾t A ) e. _V
2		elfi2 7932	. . . . . 6 |- ( ( J ↾t A ) e. _V -> ( x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) <-> E. y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) x = |^| y ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) <-> E. y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) x = |^| y )
4		eldifi 3588	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y e. ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) )
5	4	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> y e. ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) )
6		elfpw 7880	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) <-> ( y C_ ( J ↾t A ) /\ y e. Fin ) )
7	6	simprbi 466	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) -> y e. Fin )
8	5, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> y e. Fin )
9	6	simplbi 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) -> y C_ ( J ↾t A ) )
10	5, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> y C_ ( J ↾t A ) )
11	10	sseld 3464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( z e. y -> z e. ( J ↾t A ) ) )
12		elrest 15319	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( z e. ( J ↾t A ) <-> E. y e. J z = ( y i^i A ) ) )
13	12	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( z e. ( J ↾t A ) <-> E. y e. J z = ( y i^i A ) ) )
14	11, 13	sylibd 218	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( z e. y -> E. y e. J z = ( y i^i A ) ) )
15	14	ralrimiv 2838	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> A. z e. y E. y e. J z = ( y i^i A ) )
16		ineq1 3658	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( f ` z ) -> ( y i^i A ) = ( ( f ` z ) i^i A ) )
17	16	eqeq2d 2437	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( f ` z ) -> ( z = ( y i^i A ) <-> z = ( ( f ` z ) i^i A ) ) )
18	17	ac6sfi 7819	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Fin /\ A. z e. y E. y e. J z = ( y i^i A ) ) -> E. f ( f : y --> J /\ A. z e. y z = ( ( f ` z ) i^i A ) ) )
19	8, 15, 18	syl2anc 666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> E. f ( f : y --> J /\ A. z e. y z = ( ( f ` z ) i^i A ) ) )
20		eldifsni 4124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y =/= (/) )
21	20	ad2antlr 732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> y =/= (/) )
22		iinin1 4368	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y =/= (/) -> |^|_ z e. y ( ( f ` z ) i^i A ) = ( |^|_ z e. y ( f ` z ) i^i A ) )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> |^|_ z e. y ( ( f ` z ) i^i A ) = ( |^|_ z e. y ( f ` z ) i^i A ) )
24		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( fi ` J ) e. _V
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> ( fi ` J ) e. _V )
26		simpllr 768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> A e. _V )
27		ffn 5744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : y --> J -> f Fn y )
28	27	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> f Fn y )
29		fniinfv 5938	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f Fn y -> |^|_ z e. y ( f ` z ) = |^| ran f )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> |^|_ z e. y ( f ` z ) = |^| ran f )
31		simplll 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> J e. _V )
32		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> f : y --> J )
33	8	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> y e. Fin )
34		intrnfi 7934	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. _V /\ ( f : y --> J /\ y =/= (/) /\ y e. Fin ) ) -> |^| ran f e. ( fi ` J ) )
35	31, 32, 21, 33, 34	syl13anc 1267	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> |^| ran f e. ( fi ` J ) )
36	30, 35	eqeltrd 2511	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> |^|_ z e. y ( f ` z ) e. ( fi ` J ) )
37		elrestr 15320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( fi ` J ) e. _V /\ A e. _V /\ |^|_ z e. y ( f ` z ) e. ( fi ` J ) ) -> ( |^|_ z e. y ( f ` z ) i^i A ) e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) )
38	25, 26, 36, 37	syl3anc 1265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> ( |^|_ z e. y ( f ` z ) i^i A ) e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) )
39	23, 38	eqeltrd 2511	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> |^|_ z e. y ( ( f ` z ) i^i A ) e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) )
40		intiin 4351	. . . . . . . . . . . . 13 |- |^| y = |^|_ z e. y z
41		iineq2 4315	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. y z = ( ( f ` z ) i^i A ) -> |^|_ z e. y z = |^|_ z e. y ( ( f ` z ) i^i A ) )
42	40, 41	syl5eq 2476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. z e. y z = ( ( f ` z ) i^i A ) -> |^| y = |^|_ z e. y ( ( f ` z ) i^i A ) )
43	42	eleq1d 2492	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z e. y z = ( ( f ` z ) i^i A ) -> ( |^| y e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) <-> |^|_ z e. y ( ( f ` z ) i^i A ) e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) ) )
44	39, 43	syl5ibrcom 226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> ( A. z e. y z = ( ( f ` z ) i^i A ) -> |^| y e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) ) )
45	44	expimpd 607	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( ( f : y --> J /\ A. z e. y z = ( ( f ` z ) i^i A ) ) -> |^| y e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) ) )
46	45	exlimdv 1769	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( E. f ( f : y --> J /\ A. z e. y z = ( ( f ` z ) i^i A ) ) -> |^| y e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) ) )
47	19, 46	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> |^| y e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) )
48		eleq1 2495	. . . . . . 7 |- ( x = |^| y -> ( x e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) <-> |^| y e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) ) )
49	47, 48	syl5ibrcom 226	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( x = |^| y -> x e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) ) )
50	49	rexlimdva 2918	. . . . 5 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( E. y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) x = |^| y -> x e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) ) )
51	3, 50	syl5bi 221	. . . 4 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) -> x e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) ) )
52		simpr 463	. . . . . 6 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> A e. _V )
53		elrest 15319	. . . . . 6 |- ( ( ( fi ` J ) e. _V /\ A e. _V ) -> ( x e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) <-> E. z e. ( fi ` J ) x = ( z i^i A ) ) )
54	24, 52, 53	sylancr 668	. . . . 5 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( x e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) <-> E. z e. ( fi ` J ) x = ( z i^i A ) ) )
55		elfi2 7932	. . . . . . . 8 |- ( J e. _V -> ( z e. ( fi ` J ) <-> E. y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) z = |^| y ) )
56	55	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( z e. ( fi ` J ) <-> E. y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) z = |^| y ) )
57		eldifsni 4124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y =/= (/) )
58	57	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> y =/= (/) )
59		iinin1 4368	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y =/= (/) -> |^|_ z e. y ( z i^i A ) = ( |^|_ z e. y z i^i A ) )
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> |^|_ z e. y ( z i^i A ) = ( |^|_ z e. y z i^i A ) )
61	40	ineq1i 3661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( |^| y i^i A ) = ( |^|_ z e. y z i^i A )
62	60, 61	syl6eqr 2482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> |^|_ z e. y ( z i^i A ) = ( |^| y i^i A ) )
63	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( J ↾t A ) e. _V )
64		eldifi 3588	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y e. ( ~P J i^i Fin ) )
65	64	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> y e. ( ~P J i^i Fin ) )
66		elfpw 7880	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( ~P J i^i Fin ) <-> ( y C_ J /\ y e. Fin ) )
67	66	simplbi 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( ~P J i^i Fin ) -> y C_ J )
68	65, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> y C_ J )
69		elrestr 15320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V /\ z e. J ) -> ( z i^i A ) e. ( J ↾t A ) )
70	69	3expa 1206	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ z e. J ) -> ( z i^i A ) e. ( J ↾t A ) )
71	70	ralrimiva 2840	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> A. z e. J ( z i^i A ) e. ( J ↾t A ) )
72	71	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> A. z e. J ( z i^i A ) e. ( J ↾t A ) )
73		ssralv 3526	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y C_ J -> ( A. z e. J ( z i^i A ) e. ( J ↾t A ) -> A. z e. y ( z i^i A ) e. ( J ↾t A ) ) )
74	68, 72, 73	sylc 63	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> A. z e. y ( z i^i A ) e. ( J ↾t A ) )
75	66	simprbi 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( ~P J i^i Fin ) -> y e. Fin )
76	65, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> y e. Fin )
77		iinfi 7935	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J ↾t A ) e. _V /\ ( A. z e. y ( z i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ y =/= (/) /\ y e. Fin ) ) -> |^|_ z e. y ( z i^i A ) e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) )
78	63, 74, 58, 76, 77	syl13anc 1267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> |^|_ z e. y ( z i^i A ) e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) )
79	62, 78	eqeltrrd 2512	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( |^| y i^i A ) e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) )
80		eleq1 2495	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( |^| y i^i A ) -> ( x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) <-> ( |^| y i^i A ) e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) ) )
81	79, 80	syl5ibrcom 226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( x = ( |^| y i^i A ) -> x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) ) )
82		ineq1 3658	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = |^| y -> ( z i^i A ) = ( |^| y i^i A ) )
83	82	eqeq2d 2437	. . . . . . . . . 10 |- ( z = |^| y -> ( x = ( z i^i A ) <-> x = ( |^| y i^i A ) ) )
84	83	imbi1d 319	. . . . . . . . 9 |- ( z = |^| y -> ( ( x = ( z i^i A ) -> x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) ) <-> ( x = ( |^| y i^i A ) -> x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) ) ) )
85	81, 84	syl5ibrcom 226	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( z = |^| y -> ( x = ( z i^i A ) -> x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) ) ) )
86	85	rexlimdva 2918	. . . . . . 7 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( E. y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) z = |^| y -> ( x = ( z i^i A ) -> x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) ) ) )
87	56, 86	sylbid 219	. . . . . 6 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( z e. ( fi ` J ) -> ( x = ( z i^i A ) -> x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) ) ) )
88	87	rexlimdv 2916	. . . . 5 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( E. z e. ( fi ` J ) x = ( z i^i A ) -> x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) ) )
89	54, 88	sylbid 219	. . . 4 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( x e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) -> x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) ) )
90	51, 89	impbid 194	. . 3 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) <-> x e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) ) )
91	90	eqrdv 2420	. 2 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( fi ` ( J ↾t A ) ) = ( ( fi ` J ) ↾t A ) )
92		fi0 7938	. . 3 |- ( fi ` (/) ) = (/)
93		relxp 4959	. . . . . 6 |- Rel ( _V X. _V )
94		restfn 15316	. . . . . . . 8 |- ↾t Fn ( _V X. _V )
95		fndm 5691	. . . . . . . 8 |- ( ↾t Fn ( _V X. _V ) -> dom ↾t = ( _V X. _V ) )
96	94, 95	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- dom ↾t = ( _V X. _V )
97	96	releqi 4935	. . . . . 6 |- ( Rel dom ↾t <-> Rel ( _V X. _V ) )
98	93, 97	mpbir 213	. . . . 5 |- Rel dom ↾t
99	98	ovprc 6333	. . . 4 |- ( -. ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( J ↾t A ) = (/) )
100	99	fveq2d 5883	. . 3 |- ( -. ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( fi ` ( J ↾t A ) ) = ( fi ` (/) ) )
101		ianor 491	. . . 4 |- ( -. ( J e. _V /\ A e. _V ) <-> ( -. J e. _V \/ -. A e. _V ) )
102		fvprc 5873	. . . . . . 7 |- ( -. J e. _V -> ( fi ` J ) = (/) )
103	102	oveq1d 6318	. . . . . 6 |- ( -. J e. _V -> ( ( fi ` J ) ↾t A ) = ( (/) ↾t A ) )
104		0rest 15321	. . . . . 6 |- ( (/) ↾t A ) = (/)
105	103, 104	syl6eq 2480	. . . . 5 |- ( -. J e. _V -> ( ( fi ` J ) ↾t A ) = (/) )
106	98	ovprc2 6335	. . . . 5 |- ( -. A e. _V -> ( ( fi ` J ) ↾t A ) = (/) )
107	105, 106	jaoi 381	. . . 4 |- ( ( -. J e. _V \/ -. A e. _V ) -> ( ( fi ` J ) ↾t A ) = (/) )
108	101, 107	sylbi 199	. . 3 |- ( -. ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( ( fi ` J ) ↾t A ) = (/) )
109	92, 100, 108	3eqtr4a 2490	. 2 |- ( -. ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( fi ` ( J ↾t A ) ) = ( ( fi ` J ) ↾t A ) )
110	91, 109	pm2.61i 168	1 |- ( fi ` ( J ↾t A ) ) = ( ( fi ` J ) ↾t A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   = wceq 1438   E.wex 1660   e. wcel 1869   =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3082   \ cdif 3434   i^i cin 3436   C_ wss 3437   (/)c0 3762   ~Pcpw 3980   {csn 3997   |^|cint 4253   |^|_ciin 4298   X. cxp 4849   dom cdm 4851   ran crn 4852   Rel wrel 4856   Fn wfn 5594   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   Fincfn 7575   ficfi 7928   ↾_t crest 15312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-1o 7188  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-fin 7579  df-fi 7929  df-rest 15314

This theorem is referenced by:  ordtrest2  20212  xkoptsub  20661  ordtrest2NEW  28731  ptrest  31859