Theorem firest 14374

Description: The finite intersections operator commutes with restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
firest	|- ( fi ` ( J ↾t A ) ) = ( ( fi ` J ) ↾t A )

Proof of Theorem firest

Dummy variables x f y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 6119	. . . . . 6 |- ( J ↾t A ) e. _V
2		elfi2 7667	. . . . . 6 |- ( ( J ↾t A ) e. _V -> ( x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) <-> E. y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) x = |^| y ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) <-> E. y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) x = |^| y )
4		eldifi 3481	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y e. ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) )
5	4	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> y e. ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) )
6		elfpw 7616	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) <-> ( y C_ ( J ↾t A ) /\ y e. Fin ) )
7	6	simprbi 464	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) -> y e. Fin )
8	5, 7	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> y e. Fin )
9	6	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) -> y C_ ( J ↾t A ) )
10	5, 9	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> y C_ ( J ↾t A ) )
11	10	sseld 3358	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( z e. y -> z e. ( J ↾t A ) ) )
12		elrest 14369	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( z e. ( J ↾t A ) <-> E. y e. J z = ( y i^i A ) ) )
13	12	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( z e. ( J ↾t A ) <-> E. y e. J z = ( y i^i A ) ) )
14	11, 13	sylibd 214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( z e. y -> E. y e. J z = ( y i^i A ) ) )
15	14	ralrimiv 2801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> A. z e. y E. y e. J z = ( y i^i A ) )
16		ineq1 3548	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( f ` z ) -> ( y i^i A ) = ( ( f ` z ) i^i A ) )
17	16	eqeq2d 2454	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( f ` z ) -> ( z = ( y i^i A ) <-> z = ( ( f ` z ) i^i A ) ) )
18	17	ac6sfi 7559	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Fin /\ A. z e. y E. y e. J z = ( y i^i A ) ) -> E. f ( f : y --> J /\ A. z e. y z = ( ( f ` z ) i^i A ) ) )
19	8, 15, 18	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> E. f ( f : y --> J /\ A. z e. y z = ( ( f ` z ) i^i A ) ) )
20		eldifsni 4004	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y =/= (/) )
21	20	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> y =/= (/) )
22		iinin1 4244	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y =/= (/) -> |^|_ z e. y ( ( f ` z ) i^i A ) = ( |^|_ z e. y ( f ` z ) i^i A ) )
23	21, 22	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> |^|_ z e. y ( ( f ` z ) i^i A ) = ( |^|_ z e. y ( f ` z ) i^i A ) )
24		fvex 5704	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( fi ` J ) e. _V
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> ( fi ` J ) e. _V )
26		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> A e. _V )
27		ffn 5562	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : y --> J -> f Fn y )
28	27	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> f Fn y )
29		fniinfv 5753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f Fn y -> |^|_ z e. y ( f ` z ) = |^| ran f )
30	28, 29	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> |^|_ z e. y ( f ` z ) = |^| ran f )
31		simplll 757	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> J e. _V )
32		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> f : y --> J )
33	8	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> y e. Fin )
34		intrnfi 7669	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. _V /\ ( f : y --> J /\ y =/= (/) /\ y e. Fin ) ) -> |^| ran f e. ( fi ` J ) )
35	31, 32, 21, 33, 34	syl13anc 1220	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> |^| ran f e. ( fi ` J ) )
36	30, 35	eqeltrd 2517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> |^|_ z e. y ( f ` z ) e. ( fi ` J ) )
37		elrestr 14370	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( fi ` J ) e. _V /\ A e. _V /\ |^|_ z e. y ( f ` z ) e. ( fi ` J ) ) -> ( |^|_ z e. y ( f ` z ) i^i A ) e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) )
38	25, 26, 36, 37	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> ( |^|_ z e. y ( f ` z ) i^i A ) e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) )
39	23, 38	eqeltrd 2517	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> |^|_ z e. y ( ( f ` z ) i^i A ) e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) )
40		intiin 4227	. . . . . . . . . . . . 13 |- |^| y = |^|_ z e. y z
41		iineq2 4191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. y z = ( ( f ` z ) i^i A ) -> |^|_ z e. y z = |^|_ z e. y ( ( f ` z ) i^i A ) )
42	40, 41	syl5eq 2487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. z e. y z = ( ( f ` z ) i^i A ) -> |^| y = |^|_ z e. y ( ( f ` z ) i^i A ) )
43	42	eleq1d 2509	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z e. y z = ( ( f ` z ) i^i A ) -> ( |^| y e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) <-> |^|_ z e. y ( ( f ` z ) i^i A ) e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) ) )
44	39, 43	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> ( A. z e. y z = ( ( f ` z ) i^i A ) -> |^| y e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) ) )
45	44	expimpd 603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( ( f : y --> J /\ A. z e. y z = ( ( f ` z ) i^i A ) ) -> |^| y e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) ) )
46	45	exlimdv 1690	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( E. f ( f : y --> J /\ A. z e. y z = ( ( f ` z ) i^i A ) ) -> |^| y e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) ) )
47	19, 46	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> |^| y e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) )
48		eleq1 2503	. . . . . . 7 |- ( x = |^| y -> ( x e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) <-> |^| y e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) ) )
49	47, 48	syl5ibrcom 222	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( x = |^| y -> x e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) ) )
50	49	rexlimdva 2844	. . . . 5 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( E. y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) x = |^| y -> x e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) ) )
51	3, 50	syl5bi 217	. . . 4 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) -> x e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) ) )
52		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> A e. _V )
53		elrest 14369	. . . . . 6 |- ( ( ( fi ` J ) e. _V /\ A e. _V ) -> ( x e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) <-> E. z e. ( fi ` J ) x = ( z i^i A ) ) )
54	24, 52, 53	sylancr 663	. . . . 5 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( x e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) <-> E. z e. ( fi ` J ) x = ( z i^i A ) ) )
55		elfi2 7667	. . . . . . . 8 |- ( J e. _V -> ( z e. ( fi ` J ) <-> E. y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) z = |^| y ) )
56	55	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( z e. ( fi ` J ) <-> E. y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) z = |^| y ) )
57		eldifsni 4004	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y =/= (/) )
58	57	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> y =/= (/) )
59		iinin1 4244	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y =/= (/) -> |^|_ z e. y ( z i^i A ) = ( |^|_ z e. y z i^i A ) )
60	58, 59	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> |^|_ z e. y ( z i^i A ) = ( |^|_ z e. y z i^i A ) )
61	40	ineq1i 3551	. . . . . . . . . . . 12 |- ( |^| y i^i A ) = ( |^|_ z e. y z i^i A )
62	60, 61	syl6eqr 2493	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> |^|_ z e. y ( z i^i A ) = ( |^| y i^i A ) )
63	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( J ↾t A ) e. _V )
64		eldifi 3481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y e. ( ~P J i^i Fin ) )
65	64	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> y e. ( ~P J i^i Fin ) )
66		elfpw 7616	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( ~P J i^i Fin ) <-> ( y C_ J /\ y e. Fin ) )
67	66	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( ~P J i^i Fin ) -> y C_ J )
68	65, 67	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> y C_ J )
69		elrestr 14370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V /\ z e. J ) -> ( z i^i A ) e. ( J ↾t A ) )
70	69	3expa 1187	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ z e. J ) -> ( z i^i A ) e. ( J ↾t A ) )
71	70	ralrimiva 2802	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> A. z e. J ( z i^i A ) e. ( J ↾t A ) )
72	71	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> A. z e. J ( z i^i A ) e. ( J ↾t A ) )
73		ssralv 3419	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y C_ J -> ( A. z e. J ( z i^i A ) e. ( J ↾t A ) -> A. z e. y ( z i^i A ) e. ( J ↾t A ) ) )
74	68, 72, 73	sylc 60	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> A. z e. y ( z i^i A ) e. ( J ↾t A ) )
75	66	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( ~P J i^i Fin ) -> y e. Fin )
76	65, 75	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> y e. Fin )
77		iinfi 7670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J ↾t A ) e. _V /\ ( A. z e. y ( z i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ y =/= (/) /\ y e. Fin ) ) -> |^|_ z e. y ( z i^i A ) e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) )
78	63, 74, 58, 76, 77	syl13anc 1220	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> |^|_ z e. y ( z i^i A ) e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) )
79	62, 78	eqeltrrd 2518	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( |^| y i^i A ) e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) )
80		eleq1 2503	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( |^| y i^i A ) -> ( x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) <-> ( |^| y i^i A ) e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) ) )
81	79, 80	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( x = ( |^| y i^i A ) -> x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) ) )
82		ineq1 3548	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = |^| y -> ( z i^i A ) = ( |^| y i^i A ) )
83	82	eqeq2d 2454	. . . . . . . . . 10 |- ( z = |^| y -> ( x = ( z i^i A ) <-> x = ( |^| y i^i A ) ) )
84	83	imbi1d 317	. . . . . . . . 9 |- ( z = |^| y -> ( ( x = ( z i^i A ) -> x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) ) <-> ( x = ( |^| y i^i A ) -> x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) ) ) )
85	81, 84	syl5ibrcom 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( z = |^| y -> ( x = ( z i^i A ) -> x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) ) ) )
86	85	rexlimdva 2844	. . . . . . 7 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( E. y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) z = |^| y -> ( x = ( z i^i A ) -> x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) ) ) )
87	56, 86	sylbid 215	. . . . . 6 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( z e. ( fi ` J ) -> ( x = ( z i^i A ) -> x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) ) ) )
88	87	rexlimdv 2843	. . . . 5 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( E. z e. ( fi ` J ) x = ( z i^i A ) -> x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) ) )
89	54, 88	sylbid 215	. . . 4 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( x e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) -> x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) ) )
90	51, 89	impbid 191	. . 3 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) <-> x e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) ) )
91	90	eqrdv 2441	. 2 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( fi ` ( J ↾t A ) ) = ( ( fi ` J ) ↾t A ) )
92		fi0 7673	. . 3 |- ( fi ` (/) ) = (/)
93		relxp 4950	. . . . . 6 |- Rel ( _V X. _V )
94		restfn 14366	. . . . . . . 8 |- ↾t Fn ( _V X. _V )
95		fndm 5513	. . . . . . . 8 |- ( ↾t Fn ( _V X. _V ) -> dom ↾t = ( _V X. _V ) )
96	94, 95	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- dom ↾t = ( _V X. _V )
97	96	releqi 4926	. . . . . 6 |- ( Rel dom ↾t <-> Rel ( _V X. _V ) )
98	93, 97	mpbir 209	. . . . 5 |- Rel dom ↾t
99	98	ovprc 6121	. . . 4 |- ( -. ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( J ↾t A ) = (/) )
100	99	fveq2d 5698	. . 3 |- ( -. ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( fi ` ( J ↾t A ) ) = ( fi ` (/) ) )
101		ianor 488	. . . 4 |- ( -. ( J e. _V /\ A e. _V ) <-> ( -. J e. _V \/ -. A e. _V ) )
102		fvprc 5688	. . . . . . 7 |- ( -. J e. _V -> ( fi ` J ) = (/) )
103	102	oveq1d 6109	. . . . . 6 |- ( -. J e. _V -> ( ( fi ` J ) ↾t A ) = ( (/) ↾t A ) )
104		0rest 14371	. . . . . 6 |- ( (/) ↾t A ) = (/)
105	103, 104	syl6eq 2491	. . . . 5 |- ( -. J e. _V -> ( ( fi ` J ) ↾t A ) = (/) )
106	98	ovprc2 6123	. . . . 5 |- ( -. A e. _V -> ( ( fi ` J ) ↾t A ) = (/) )
107	105, 106	jaoi 379	. . . 4 |- ( ( -. J e. _V \/ -. A e. _V ) -> ( ( fi ` J ) ↾t A ) = (/) )
108	101, 107	sylbi 195	. . 3 |- ( -. ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( ( fi ` J ) ↾t A ) = (/) )
109	92, 100, 108	3eqtr4a 2501	. 2 |- ( -. ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( fi ` ( J ↾t A ) ) = ( ( fi ` J ) ↾t A ) )
110	91, 109	pm2.61i 164	1 |- ( fi ` ( J ↾t A ) ) = ( ( fi ` J ) ↾t A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   =/= wne 2609   A.wral 2718   E.wrex 2719   _Vcvv 2975   \ cdif 3328   i^i cin 3330   C_ wss 3331   (/)c0 3640   ~Pcpw 3863   {csn 3880   |^|cint 4131   |^|_ciin 4175   X. cxp 4841   dom cdm 4843   ran crn 4844   Rel wrel 4848   Fn wfn 5416   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   Fincfn 7313   ficfi 7663   ↾_t crest 14362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-1o 6923  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-fin 7317  df-fi 7664  df-rest 14364

This theorem is referenced by:  ordtrest2  18811  xkoptsub  19230  ordtrest2NEW  26356  ptrest  28428