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Theorem firest 15047
Description: The finite intersections operator commutes with restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
firest  |-  ( fi
`  ( Jt  A ) )  =  ( ( fi `  J )t  A )

Proof of Theorem firest
Dummy variables  x  f  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6306 . . . . . 6  |-  ( Jt  A )  e.  _V
2 elfi2 7908 . . . . . 6  |-  ( ( Jt  A )  e.  _V  ->  ( x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) )  <->  E. y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) x  =  |^| y
) )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) )  <->  E. y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) x  =  |^| y
)
4 eldifi 3565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } )  ->  y  e.  ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin ) )
54adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  e.  ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin ) )
6 elfpw 7856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin ) 
<->  ( y  C_  ( Jt  A )  /\  y  e.  Fin ) )
76simprbi 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
85, 7syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  e.  Fin )
96simplbi 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  ->  y  C_  ( Jt  A ) )
105, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  C_  ( Jt  A ) )
1110sseld 3441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( z  e.  y  ->  z  e.  ( Jt  A ) ) )
12 elrest 15042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. y  e.  J  z  =  ( y  i^i  A
) ) )
1312adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. y  e.  J  z  =  ( y  i^i  A
) ) )
1411, 13sylibd 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( z  e.  y  ->  E. y  e.  J  z  =  ( y  i^i  A
) ) )
1514ralrimiv 2816 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  A. z  e.  y  E. y  e.  J  z  =  ( y  i^i  A ) )
16 ineq1 3634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( f `  z )  ->  (
y  i^i  A )  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A ) )
1716eqeq2d 2416 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( f `  z )  ->  (
z  =  ( y  i^i  A )  <->  z  =  ( ( f `  z )  i^i  A
) ) )
1817ac6sfi 7798 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  A. z  e.  y  E. y  e.  J  z  =  ( y  i^i 
A ) )  ->  E. f ( f : y --> J  /\  A. z  e.  y  z  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A ) ) )
198, 15, 18syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  E. f ( f : y --> J  /\  A. z  e.  y  z  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A ) ) )
20 eldifsni 4098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } )  ->  y  =/=  (/) )
2120ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
y  =/=  (/) )
22 iinin1 4342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =/=  (/)  ->  |^|_ z  e.  y  ( ( f `
 z )  i^i 
A )  =  (
|^|_ z  e.  y  ( f `  z
)  i^i  A )
)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  |^|_ z  e.  y  ( ( f `  z
)  i^i  A )  =  ( |^|_ z  e.  y  ( f `  z )  i^i  A
) )
24 fvex 5859 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( fi
`  J )  e. 
_V
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
( fi `  J
)  e.  _V )
26 simpllr 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  A  e.  _V )
27 ffn 5714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : y --> J  -> 
f  Fn  y )
2827adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
f  Fn  y )
29 fniinfv 5908 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  Fn  y  ->  |^|_ z  e.  y  ( f `  z )  =  |^| ran  f )
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  |^|_ z  e.  y  ( f `  z )  =  |^| ran  f
)
31 simplll 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  J  e.  _V )
32 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
f : y --> J )
338adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
y  e.  Fin )
34 intrnfi 7910 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  _V  /\  ( f : y --> J  /\  y  =/=  (/)  /\  y  e.  Fin ) )  ->  |^| ran  f  e.  ( fi `  J ) )
3531, 32, 21, 33, 34syl13anc 1232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  |^| ran  f  e.  ( fi `  J ) )
3630, 35eqeltrd 2490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  |^|_ z  e.  y  ( f `  z )  e.  ( fi `  J ) )
37 elrestr 15043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( fi `  J
)  e.  _V  /\  A  e.  _V  /\  |^|_ z  e.  y  (
f `  z )  e.  ( fi `  J
) )  ->  ( |^|_ z  e.  y  ( f `  z )  i^i  A )  e.  ( ( fi `  J )t  A ) )
3825, 26, 36, 37syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
( |^|_ z  e.  y  ( f `  z
)  i^i  A )  e.  ( ( fi `  J )t  A ) )
3923, 38eqeltrd 2490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  |^|_ z  e.  y  ( ( f `  z
)  i^i  A )  e.  ( ( fi `  J )t  A ) )
40 intiin 4325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  |^| y  =  |^|_ z  e.  y  z
41 iineq2 4289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  y  z  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A )  ->  |^|_ z  e.  y  z  =  |^|_ z  e.  y  ( ( f `  z
)  i^i  A )
)
4240, 41syl5eq 2455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  y  z  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A )  ->  |^| y  =  |^|_ z  e.  y  ( ( f `  z )  i^i  A
) )
4342eleq1d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  y  z  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A )  ->  ( |^| y  e.  (
( fi `  J
)t 
A )  <->  |^|_ z  e.  y  ( ( f `
 z )  i^i 
A )  e.  ( ( fi `  J
)t 
A ) ) )
4439, 43syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
( A. z  e.  y  z  =  ( ( f `  z
)  i^i  A )  ->  |^| y  e.  ( ( fi `  J
)t 
A ) ) )
4544expimpd 601 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( ( f : y --> J  /\  A. z  e.  y  z  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A ) )  ->  |^| y  e.  (
( fi `  J
)t 
A ) ) )
4645exlimdv 1745 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( E. f
( f : y --> J  /\  A. z  e.  y  z  =  ( ( f `  z )  i^i  A
) )  ->  |^| y  e.  ( ( fi `  J )t  A ) ) )
4719, 46mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  |^| y  e.  ( ( fi `  J
)t 
A ) )
48 eleq1 2474 . . . . . . 7  |-  ( x  =  |^| y  -> 
( x  e.  ( ( fi `  J
)t 
A )  <->  |^| y  e.  ( ( fi `  J )t  A ) ) )
4947, 48syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( x  = 
|^| y  ->  x  e.  ( ( fi `  J )t  A ) ) )
5049rexlimdva 2896 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( E. y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) x  =  |^| y  ->  x  e.  ( ( fi `  J )t  A ) ) )
513, 50syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) )  ->  x  e.  ( ( fi `  J )t  A ) ) )
52 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
53 elrest 15042 . . . . . 6  |-  ( ( ( fi `  J
)  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( ( fi `  J
)t 
A )  <->  E. z  e.  ( fi `  J
) x  =  ( z  i^i  A ) ) )
5424, 52, 53sylancr 661 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( ( fi `  J
)t 
A )  <->  E. z  e.  ( fi `  J
) x  =  ( z  i^i  A ) ) )
55 elfi2 7908 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  _V  ->  (
z  e.  ( fi
`  J )  <->  E. y  e.  ( ( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) z  = 
|^| y ) )
5655adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( fi `  J )  <->  E. y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) z  =  |^| y ) )
57 eldifsni 4098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } )  -> 
y  =/=  (/) )
5857adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  =/=  (/) )
59 iinin1 4342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =/=  (/)  ->  |^|_ z  e.  y  ( z  i^i 
A )  =  (
|^|_ z  e.  y  z  i^i  A ) )
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  |^|_ z  e.  y  ( z  i^i  A )  =  (
|^|_ z  e.  y  z  i^i  A ) )
6140ineq1i 3637 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( |^| y  i^i  A )  =  ( |^|_ z  e.  y  z  i^i  A )
6260, 61syl6eqr 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  |^|_ z  e.  y  ( z  i^i  A )  =  (
|^| y  i^i  A
) )
631a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( Jt  A )  e.  _V )
64 eldifi 3565 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } )  -> 
y  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
)
6564adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) )
66 elfpw 7856 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  <->  ( y  C_  J  /\  y  e. 
Fin ) )
6766simplbi 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  ->  y  C_  J )
6865, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  C_  J )
69 elrestr 15043 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V  /\  z  e.  J )  ->  (
z  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
70693expa 1197 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  z  e.  J
)  ->  ( z  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
7170ralrimiva 2818 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  A. z  e.  J  ( z  i^i  A
)  e.  ( Jt  A ) )
7271adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  A. z  e.  J  ( z  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
73 ssralv 3503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  J  ->  ( A. z  e.  J  ( z  i^i  A
)  e.  ( Jt  A )  ->  A. z  e.  y  ( z  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) ) )
7468, 72, 73sylc 59 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  A. z  e.  y  ( z  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
7566simprbi 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
7665, 75syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  e.  Fin )
77 iinfi 7911 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Jt  A )  e.  _V  /\  ( A. z  e.  y  ( z  i^i 
A )  e.  ( Jt  A )  /\  y  =/=  (/)  /\  y  e. 
Fin ) )  ->  |^|_ z  e.  y  ( z  i^i  A )  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) )
7863, 74, 58, 76, 77syl13anc 1232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  |^|_ z  e.  y  ( z  i^i  A )  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) )
7962, 78eqeltrrd 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( |^| y  i^i  A )  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) )
80 eleq1 2474 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( |^| y  i^i  A )  ->  (
x  e.  ( fi
`  ( Jt  A ) )  <->  ( |^| y  i^i  A )  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) )
8179, 80syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  (
x  =  ( |^| y  i^i  A )  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) )
82 ineq1 3634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  |^| y  -> 
( z  i^i  A
)  =  ( |^| y  i^i  A ) )
8382eqeq2d 2416 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  |^| y  -> 
( x  =  ( z  i^i  A )  <-> 
x  =  ( |^| y  i^i  A ) ) )
8483imbi1d 315 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  |^| y  -> 
( ( x  =  ( z  i^i  A
)  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) )  <->  ( x  =  ( |^| y  i^i  A )  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) ) )
8581, 84syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  (
z  =  |^| y  ->  ( x  =  ( z  i^i  A )  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) ) )
8685rexlimdva 2896 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( E. y  e.  ( ( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) z  = 
|^| y  ->  (
x  =  ( z  i^i  A )  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) ) )
8756, 86sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( fi `  J )  ->  ( x  =  ( z  i^i  A
)  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) ) )
8887rexlimdv 2894 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( E. z  e.  ( fi `  J
) x  =  ( z  i^i  A )  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) )
8954, 88sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( ( fi `  J
)t 
A )  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) )
9051, 89impbid 190 . . 3  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) )  <->  x  e.  ( ( fi `  J )t  A ) ) )
9190eqrdv 2399 . 2  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( fi `  ( Jt  A ) )  =  ( ( fi `  J )t  A ) )
92 fi0 7914 . . 3  |-  ( fi
`  (/) )  =  (/)
93 relxp 4931 . . . . . 6  |-  Rel  ( _V  X.  _V )
94 restfn 15039 . . . . . . . 8  |-t  Fn  ( _V  X.  _V )
95 fndm 5661 . . . . . . . 8  |-  (t  Fn  ( _V  X.  _V )  ->  domt  =  ( _V  X.  _V ) )
9694, 95ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  domt  =  ( _V  X.  _V )
9796releqi 4907 . . . . . 6  |-  ( Rel 
domt  <->  Rel  ( _V  X.  _V ) )
9893, 97mpbir 209 . . . . 5  |-  Rel  domt
9998ovprc 6308 . . . 4  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( Jt  A )  =  (/) )
10099fveq2d 5853 . . 3  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( fi `  ( Jt  A ) )  =  ( fi `  (/) ) )
101 ianor 486 . . . 4  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  <->  ( -.  J  e.  _V  \/  -.  A  e.  _V ) )
102 fvprc 5843 . . . . . . 7  |-  ( -.  J  e.  _V  ->  ( fi `  J )  =  (/) )
103102oveq1d 6293 . . . . . 6  |-  ( -.  J  e.  _V  ->  ( ( fi `  J
)t 
A )  =  (
(/)t  A ) )
104 0rest 15044 . . . . . 6  |-  ( (/)t  A )  =  (/)
105103, 104syl6eq 2459 . . . . 5  |-  ( -.  J  e.  _V  ->  ( ( fi `  J
)t 
A )  =  (/) )
10698ovprc2 6310 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( fi `  J
)t 
A )  =  (/) )
107105, 106jaoi 377 . . . 4  |-  ( ( -.  J  e.  _V  \/  -.  A  e.  _V )  ->  ( ( fi
`  J )t  A )  =  (/) )
108101, 107sylbi 195 . . 3  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( ( fi `  J )t  A )  =  (/) )
10992, 100, 1083eqtr4a 2469 . 2  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( fi `  ( Jt  A ) )  =  ( ( fi `  J )t  A ) )
11091, 109pm2.61i 164 1  |-  ( fi
`  ( Jt  A ) )  =  ( ( fi `  J )t  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755   _Vcvv 3059    \ cdif 3411    i^i cin 3413    C_ wss 3414   (/)c0 3738   ~Pcpw 3955   {csn 3972   |^|cint 4227   |^|_ciin 4272    X. cxp 4821   dom cdm 4823   ran crn 4824   Rel wrel 4828    Fn wfn 5564   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Fincfn 7554   ficfi 7904   ↾t crest 15035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-1o 7167  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-fin 7558  df-fi 7905  df-rest 15037
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