Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iinfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iinfi 8206
 Description: An indexed intersection of elements of 𝐶 is an element of the finite intersections of 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
iinfi ((𝐶𝑉 ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ (fi‘𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iinfi
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1060 . . . 4 ((𝐶𝑉 ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶)
2 dfiin2g 4489 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵})
31, 2syl 17 . . 3 ((𝐶𝑉 ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵})
4 eqid 2610 . . . . 5 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
54rnmpt 5292 . . . 4 ran (𝑥𝐴𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}
65inteqi 4414 . . 3 ran (𝑥𝐴𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}
73, 6syl6eqr 2662 . 2 ((𝐶𝑉 ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝑥𝐴 𝐵 = ran (𝑥𝐴𝐵))
84fmpt 6289 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶 ↔ (𝑥𝐴𝐵):𝐴𝐶)
983anbi1i 1246 . . 3 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ↔ ((𝑥𝐴𝐵):𝐴𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin))
10 intrnfi 8205 . . 3 ((𝐶𝑉 ∧ ((𝑥𝐴𝐵):𝐴𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ran (𝑥𝐴𝐵) ∈ (fi‘𝐶))
119, 10sylan2b 491 . 2 ((𝐶𝑉 ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ran (𝑥𝐴𝐵) ∈ (fi‘𝐶))
127, 11eqeltrd 2688 1 ((𝐶𝑉 ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ (fi‘𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  ∅c0 3874  ∩ cint 4410  ∩ ciin 4456   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  Fincfn 7841  ficfi 8199 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-fin 7845  df-fi 8200 This theorem is referenced by:  firest  15916  iscmet3  22899  sigapildsyslem  29551
 Copyright terms: Public domain W3C validator