Theorem erdszelem4 30430

Description: Lemma for erdsze 30438. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
erdsze.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
erdsze.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
erdszelem.k	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((# “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.o	⊢ 𝑂 Or ℝ

Assertion

Ref	Expression
erdszelem4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → {𝐴} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem erdszelem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 12241	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (1...𝑁) → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℕ)
3		elfz1end 12242	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ (1...𝐴))
4	2, 3	sylib 207	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (1...𝐴))
5	4	snssd 4281	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → {𝐴} ⊆ (1...𝐴))
6		elsni 4142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
7		elsni 4142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝐴} → 𝑦 = 𝐴)
8	6, 7	breqan12d 4599	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝐴 < 𝐴))
9	8	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝐴 < 𝐴))
10		fzssuz 12253	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (ℤ≥‘1)
11		uzssz 11583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℤ
12		zssre 11261	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
13	11, 12	sstri 3577	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℝ
14	10, 13	sstri 3577	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℝ
15		simpr 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (1...𝑁))
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → 𝐴 ∈ (1...𝑁))
17	14, 16	sseldi 3566	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	17	ltnrd 10050	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
19	18	pm2.21d 117	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → (𝐴 < 𝐴 → (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐹‘𝑦)))
20	9, 19	sylbid 229	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐹‘𝑦)))
21	20	ralrimivva 2954	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐹‘𝑦)))
22		erdsze.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
23		f1f 6014	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ → 𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ)
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ)
25	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ)
26	15	snssd 4281	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → {𝐴} ⊆ (1...𝑁))
27		ltso 9997	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
28		soss 4977	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or (1...𝑁)))
29	14, 27, 28	mp2 9	. . . . 5 ⊢ < Or (1...𝑁)
30		erdszelem.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 Or ℝ
31		soisores 6477	. . . . 5 ⊢ ((( < Or (1...𝑁) ∧ 𝑂 Or ℝ) ∧ (𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ ∧ {𝐴} ⊆ (1...𝑁))) → ((𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐹‘𝑦))))
32	29, 30, 31	mpanl12 714	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ ∧ {𝐴} ⊆ (1...𝑁)) → ((𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐹‘𝑦))))
33	25, 26, 32	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐹‘𝑦))))
34	21, 33	mpbird 246	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})))
35		snidg 4153	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (1...𝑁) → 𝐴 ∈ {𝐴})
36	35	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ {𝐴})
37		eqid 2610	. . 3 ⊢ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}
38	37	erdszelem1 30427	. 2 ⊢ ({𝐴} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} ↔ ({𝐴} ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})) ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}))
39	5, 34, 36, 38	syl3anbrc 1239	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → {𝐴} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   Or wor 4958   ↾ cres 5040   “ cima 5041  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  ‘cfv 5804   Isom wiso 5805  (class class class)co 6549  supcsup 8229  ℝcr 9814  1c1 9816   < clt 9953  ℕcn 10897  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197  #chash 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198

This theorem is referenced by:  erdszelem5  30431