Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem4 Structured version   Unicode version

Theorem erdszelem4 29705
Description: Lemma for erdsze 29713. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
erdsze.f  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR )
erdszelem.k  |-  K  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  sup ( ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... x
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  x  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )
)
erdszelem.o  |-  O  Or  RR
Assertion
Ref Expression
erdszelem4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  { A }  e.  { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y
)  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y ) )  /\  A  e.  y ) } )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, A, y    x, O, y    x, N, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    K( x, y)

Proof of Theorem erdszelem4
StepHypRef Expression
1 elfznn 11826 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 1 ... N )  ->  A  e.  NN )
21adantl 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  A  e.  NN )
3 elfz1end 11827 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  <->  A  e.  ( 1 ... A
) )
42, 3sylib 199 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  A  e.  ( 1 ... A
) )
54snssd 4148 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  { A }  C_  ( 1 ... A ) )
6 elsni 4027 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { A }  ->  x  =  A )
7 elsni 4027 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { A }  ->  y  =  A )
86, 7breqan12d 4441 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } )  ->  (
x  <  y  <->  A  <  A ) )
98adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )  -> 
( x  <  y  <->  A  <  A ) )
10 fzssuz 11837 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... N )  C_  ( ZZ>= `  1 )
11 uzssz 11178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  ZZ
12 zssre 10944 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  C_  RR
1311, 12sstri 3479 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  RR
1410, 13sstri 3479 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... N )  C_  RR
15 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  A  e.  ( 1 ... N
) )
1615adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )  ->  A  e.  ( 1 ... N ) )
1714, 16sseldi 3468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )  ->  A  e.  RR )
1817ltnrd 9768 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )  ->  -.  A  <  A )
1918pm2.21d 109 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )  -> 
( A  <  A  ->  ( F `  x
) O ( F `
 y ) ) )
209, 19sylbid 218 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )  -> 
( x  <  y  ->  ( F `  x
) O ( F `
 y ) ) )
2120ralrimivva 2853 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  A. x  e.  { A } A. y  e.  { A }  ( x  < 
y  ->  ( F `  x ) O ( F `  y ) ) )
22 erdsze.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR )
23 f1f 5796 . . . . . 6  |-  ( F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR  ->  F : ( 1 ... N ) --> RR )
2422, 23syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... N ) --> RR )
2524adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  F : ( 1 ... N ) --> RR )
2615snssd 4148 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  { A }  C_  ( 1 ... N ) )
27 ltso 9713 . . . . . 6  |-  <  Or  RR
28 soss 4793 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... N ) 
C_  RR  ->  (  < 
Or  RR  ->  <  Or  ( 1 ... N
) ) )
2914, 27, 28mp2 9 . . . . 5  |-  <  Or  ( 1 ... N
)
30 erdszelem.o . . . . 5  |-  O  Or  RR
31 soisores 6233 . . . . 5  |-  ( ( (  <  Or  (
1 ... N )  /\  O  Or  RR )  /\  ( F : ( 1 ... N ) --> RR  /\  { A }  C_  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( ( F  |`  { A } ) 
Isom  <  ,  O  ( { A } , 
( F " { A } ) )  <->  A. x  e.  { A } A. y  e.  { A }  ( x  < 
y  ->  ( F `  x ) O ( F `  y ) ) ) )
3229, 30, 31mpanl12 686 . . . 4  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> RR 
/\  { A }  C_  ( 1 ... N
) )  ->  (
( F  |`  { A } )  Isom  <  ,  O  ( { A } ,  ( F " { A } ) )  <->  A. x  e.  { A } A. y  e. 
{ A }  (
x  <  y  ->  ( F `  x ) O ( F `  y ) ) ) )
3325, 26, 32syl2anc 665 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( F  |`  { A } )  Isom  <  ,  O  ( { A } ,  ( F " { A } ) )  <->  A. x  e.  { A } A. y  e. 
{ A }  (
x  <  y  ->  ( F `  x ) O ( F `  y ) ) ) )
3421, 33mpbird 235 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F  |`  { A }
)  Isom  <  ,  O  ( { A } , 
( F " { A } ) ) )
35 snidg 4028 . . 3  |-  ( A  e.  ( 1 ... N )  ->  A  e.  { A } )
3635adantl 467 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  A  e.  { A } )
37 eqid 2429 . . 3  |-  { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) }  =  { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) }
3837erdszelem1 29702 . 2  |-  ( { A }  e.  {
y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) }  <->  ( { A }  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  { A } )  Isom  <  ,  O  ( { A } ,  ( F " { A } ) )  /\  A  e. 
{ A } ) )
395, 34, 36, 38syl3anbrc 1189 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  { A }  e.  { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y
)  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y ) )  /\  A  e.  y ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   {crab 2786    C_ wss 3442   ~Pcpw 3985   {csn 4002   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484    Or wor 4774    |` cres 4856   "cima 4857   -->wf 5597   -1-1->wf1 5598   ` cfv 5601    Isom wiso 5602  (class class class)co 6305   supcsup 7960   RRcr 9537   1c1 9539    < clt 9674   NNcn 10609   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11782   #chash 12512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783
This theorem is referenced by:  erdszelem5  29706
  Copyright terms: Public domain W3C validator