MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsqrtcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphsqrtcl 22792
Description: The scalar field of a complex pre-Hilbert space is closed under square roots of positive reals (i.e. it is quadratically closed relative to ). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsca.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
cphsqrtcl ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphsqrtcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1054 . . . 4 ((𝐴𝐾𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴𝐾)
2 elrege0 12149 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
32biimpri 217 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
433adant1 1072 . . . 4 ((𝐴𝐾𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
51, 4elind 3760 . . 3 ((𝐴𝐾𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)))
6 sqrtf 13951 . . . . 5 √:ℂ⟶ℂ
7 ffn 5958 . . . . 5 (√:ℂ⟶ℂ → √ Fn ℂ)
86, 7ax-mp 5 . . . 4 √ Fn ℂ
9 inss2 3796 . . . . 5 (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) ⊆ (0[,)+∞)
10 rge0ssre 12151 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
11 ax-resscn 9872 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
1210, 11sstri 3577 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
139, 12sstri 3577 . . . 4 (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) ⊆ ℂ
14 fnfvima 6400 . . . 4 ((√ Fn ℂ ∧ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))) → (√‘𝐴) ∈ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))))
158, 13, 14mp3an12 1406 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) → (√‘𝐴) ∈ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))))
165, 15syl 17 . 2 ((𝐴𝐾𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))))
17 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
18 eqid 2610 . . . . 5 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
19 eqid 2610 . . . . 5 (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
20 cphsca.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
21 cphsca.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
2217, 18, 19, 20, 21iscph 22778 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil ↔ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = (ℂflds 𝐾)) ∧ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))) ⊆ 𝐾 ∧ (norm‘𝑊) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖𝑊)𝑥)))))
2322simp2bi 1070 . . 3 (𝑊 ∈ ℂPreHil → (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))) ⊆ 𝐾)
2423sselda 3568 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (√‘𝐴) ∈ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)))) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
2516, 24sylan2 490 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  cin 3539  wss 3540   class class class wbr 4583  cmpt 4643  cima 5041   Fn wfn 5799  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  cle 9954  [,)cico 12048  csqrt 13821  Basecbs 15695  s cress 15696  Scalarcsca 15771  ·𝑖cip 15773  fldccnfld 19567  PreHilcphl 19788  normcnm 22191  NrmModcnlm 22195  ℂPreHilccph 22774
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-cph 22776
This theorem is referenced by:  cphabscl  22793  cphsqrtcl2  22794  cphsqrtcl3  22795  cphnmf  22803  ipcau  22845
  Copyright terms: Public domain W3C validator