Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsqrtcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphsqrtcl 22792
 Description: The scalar field of a complex pre-Hilbert space is closed under square roots of positive reals (i.e. it is quadratically closed relative to ℝ). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsca.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
cphsqrtcl ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphsqrtcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1054 . . . 4 ((𝐴𝐾𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴𝐾)
2 elrege0 12149 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
32biimpri 217 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
433adant1 1072 . . . 4 ((𝐴𝐾𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
51, 4elind 3760 . . 3 ((𝐴𝐾𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)))
6 sqrtf 13951 . . . . 5 √:ℂ⟶ℂ
7 ffn 5958 . . . . 5 (√:ℂ⟶ℂ → √ Fn ℂ)
86, 7ax-mp 5 . . . 4 √ Fn ℂ
9 inss2 3796 . . . . 5 (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) ⊆ (0[,)+∞)
10 rge0ssre 12151 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
11 ax-resscn 9872 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
1210, 11sstri 3577 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
139, 12sstri 3577 . . . 4 (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) ⊆ ℂ
14 fnfvima 6400 . . . 4 ((√ Fn ℂ ∧ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))) → (√‘𝐴) ∈ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))))
158, 13, 14mp3an12 1406 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) → (√‘𝐴) ∈ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))))
165, 15syl 17 . 2 ((𝐴𝐾𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))))
17 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
18 eqid 2610 . . . . 5 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
19 eqid 2610 . . . . 5 (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
20 cphsca.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
21 cphsca.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
2217, 18, 19, 20, 21iscph 22778 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil ↔ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = (ℂflds 𝐾)) ∧ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))) ⊆ 𝐾 ∧ (norm‘𝑊) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖𝑊)𝑥)))))
2322simp2bi 1070 . . 3 (𝑊 ∈ ℂPreHil → (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))) ⊆ 𝐾)
2423sselda 3568 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (√‘𝐴) ∈ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)))) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
2516, 24sylan2 490 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   “ cima 5041   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  +∞cpnf 9950   ≤ cle 9954  [,)cico 12048  √csqrt 13821  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  Scalarcsca 15771  ·𝑖cip 15773  ℂfldccnfld 19567  PreHilcphl 19788  normcnm 22191  NrmModcnlm 22195  ℂPreHilccph 22774 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-cph 22776 This theorem is referenced by:  cphabscl  22793  cphsqrtcl2  22794  cphsqrtcl3  22795  cphnmf  22803  ipcau  22845
 Copyright terms: Public domain W3C validator