MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsqrtcl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cphsqrtcl 22155
Description: The scalar field of a complex pre-Hilbert space is closed under square roots of positive reals (i.e. it is quadratically closed relative to  RR). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsca.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
cphsca.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
cphsqrtcl  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  -> 
( sqr `  A
)  e.  K )

Proof of Theorem cphsqrtcl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1007 . . . 4  |-  ( ( A  e.  K  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  K )
2 elrege0 11735 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
32biimpri 210 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
433adant1 1025 . . . 4  |-  ( ( A  e.  K  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
51, 4elind 3617 . . 3  |-  ( ( A  e.  K  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  ( K  i^i  (
0 [,) +oo )
) )
6 sqrtf 13419 . . . . 5  |-  sqr : CC
--> CC
7 ffn 5726 . . . . 5  |-  ( sqr
: CC --> CC  ->  sqr 
Fn  CC )
86, 7ax-mp 5 . . . 4  |-  sqr  Fn  CC
9 inss2 3652 . . . . 5  |-  ( K  i^i  ( 0 [,) +oo ) )  C_  (
0 [,) +oo )
10 rge0ssre 11737 . . . . . 6  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
11 ax-resscn 9593 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
1210, 11sstri 3440 . . . . 5  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  CC
139, 12sstri 3440 . . . 4  |-  ( K  i^i  ( 0 [,) +oo ) )  C_  CC
14 fnfvima 6141 . . . 4  |-  ( ( sqr  Fn  CC  /\  ( K  i^i  (
0 [,) +oo )
)  C_  CC  /\  A  e.  ( K  i^i  (
0 [,) +oo )
) )  ->  ( sqr `  A )  e.  ( sqr " ( K  i^i  ( 0 [,) +oo ) ) ) )
158, 13, 14mp3an12 1353 . . 3  |-  ( A  e.  ( K  i^i  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( sqr `  A )  e.  ( sqr " ( K  i^i  ( 0 [,) +oo ) ) ) )
165, 15syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  K  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  ( sqr `  A )  e.  ( sqr " ( K  i^i  ( 0 [,) +oo ) ) ) )
17 eqid 2450 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
18 eqid 2450 . . . . 5  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
19 eqid 2450 . . . . 5  |-  ( norm `  W )  =  (
norm `  W )
20 cphsca.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
21 cphsca.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
2217, 18, 19, 20, 21iscph 22141 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil 
<->  ( ( W  e. 
PreHil  /\  W  e. NrmMod  /\  F  =  (flds  K ) )  /\  ( sqr " ( K  i^i  ( 0 [,) +oo ) ) )  C_  K  /\  ( norm `  W
)  =  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( sqr `  (
x ( .i `  W ) x ) ) ) ) )
2322simp2bi 1023 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( sqr " ( K  i^i  ( 0 [,) +oo ) ) )  C_  K )
2423sselda 3431 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( sqr `  A )  e.  ( sqr " ( K  i^i  ( 0 [,) +oo ) ) ) )  ->  ( sqr `  A
)  e.  K )
2516, 24sylan2 477 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  -> 
( sqr `  A
)  e.  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886    i^i cin 3402    C_ wss 3403   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   "cima 4836    Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   +oocpnf 9669    <_ cle 9673   [,)cico 11634   sqrcsqrt 13289   Basecbs 15114   ↾s cress 15115  Scalarcsca 15186   .icip 15188  ℂfldccnfld 18963   PreHilcphl 19184   normcnm 21584  NrmModcnlm 21588   CPreHilccph 22137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-sup 7953  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-ico 11638  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-cph 22139
This theorem is referenced by:  cphabscl  22156  cphsqrtcl2  22157  cphsqrtcl3  22158  cphnmf  22166  ipcau  22205
  Copyright terms: Public domain W3C validator