Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphcjcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphcjcl 22791
 Description: The scalar field of a complex pre-Hilbert space is closed under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsca.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
cphcjcl ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → (∗‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphcjcl
StepHypRef Expression
1 cphsca.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2 cphsca.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝐹)
31, 2cphsca 22787 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐹 = (ℂflds 𝐾))
43fveq2d 6107 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂPreHil → (*𝑟𝐹) = (*𝑟‘(ℂflds 𝐾)))
5 fvex 6113 . . . . . . 7 (Base‘𝐹) ∈ V
62, 5eqeltri 2684 . . . . . 6 𝐾 ∈ V
7 eqid 2610 . . . . . . 7 (ℂflds 𝐾) = (ℂflds 𝐾)
8 cnfldcj 19574 . . . . . . 7 ∗ = (*𝑟‘ℂfld)
97, 8ressstarv 15830 . . . . . 6 (𝐾 ∈ V → ∗ = (*𝑟‘(ℂflds 𝐾)))
106, 9ax-mp 5 . . . . 5 ∗ = (*𝑟‘(ℂflds 𝐾))
114, 10syl6eqr 2662 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → (*𝑟𝐹) = ∗)
1211adantr 480 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → (*𝑟𝐹) = ∗)
1312fveq1d 6105 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → ((*𝑟𝐹)‘𝐴) = (∗‘𝐴))
14 cphphl 22779 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
151phlsrng 19795 . . . 4 (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
1614, 15syl 17 . . 3 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
17 eqid 2610 . . . 4 (*𝑟𝐹) = (*𝑟𝐹)
1817, 2srngcl 18678 . . 3 ((𝐹 ∈ *-Ring ∧ 𝐴𝐾) → ((*𝑟𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
1916, 18sylan 487 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → ((*𝑟𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
2013, 19eqeltrrd 2689 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → (∗‘𝐴) ∈ 𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ∗ccj 13684  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  *𝑟cstv 15770  Scalarcsca 15771  *-Ringcsr 18667  ℂfldccnfld 19567  PreHilcphl 19788  ℂPreHilccph 22774 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-cj 13687  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-mhm 17158  df-ghm 17481  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-rnghom 18538  df-staf 18668  df-srng 18669  df-cnfld 19568  df-phl 19790  df-cph 22776 This theorem is referenced by:  cphabscl  22793
 Copyright terms: Public domain W3C validator