Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coltr3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coltr3 25343
 Description: A transitivity law for colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineintmo.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
coltr.a (𝜑𝐴𝑃)
coltr.b (𝜑𝐵𝑃)
coltr.c (𝜑𝐶𝑃)
coltr.d (𝜑𝐷𝑃)
coltr.1 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
coltr3.2 (𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
Assertion
Ref Expression
coltr3 (𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶))

Proof of Theorem coltr3
StepHypRef Expression
1 tglineintmo.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2610 . . . 4 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3 tglineintmo.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tglineintmo.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 coltr.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
76adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐴𝑃)
8 coltr.d . . . . 5 (𝜑𝐷𝑃)
98adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐷𝑃)
10 coltr3.2 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
1110adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
12 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐶)
1312oveq2d 6565 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → (𝐴𝐼𝐴) = (𝐴𝐼𝐶))
1411, 13eleqtrrd 2691 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐴))
151, 2, 3, 5, 7, 9, 14axtgbtwnid 25165 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐷)
16 coltr.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
1716adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
1815, 17eqeltrrd 2689 . 2 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
19 tglineintmo.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
204adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
216adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐴𝑃)
22 coltr.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
2322adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐶𝑃)
248adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐷𝑃)
25 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐴𝐶)
2610adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
271, 3, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 26btwnlng1 25314 . . 3 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐿𝐶))
2825necomd 2837 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐶𝐴)
29 coltr.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑃)
3029adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐵𝑃)
311, 19, 3, 4, 29, 22, 16tglngne 25245 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐶)
3231adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐵𝐶)
3316adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
341, 3, 19, 20, 23, 21, 30, 28, 33, 32lnrot1 25318 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴))
351, 3, 19, 20, 23, 21, 28, 30, 32, 34tglineelsb2 25327 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → (𝐶𝐿𝐴) = (𝐶𝐿𝐵))
361, 3, 19, 20, 21, 23, 25tglinecom 25330 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → (𝐴𝐿𝐶) = (𝐶𝐿𝐴))
371, 3, 19, 4, 29, 22, 31tglinecom 25330 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐿𝐶) = (𝐶𝐿𝐵))
3837adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → (𝐵𝐿𝐶) = (𝐶𝐿𝐵))
3935, 36, 383eqtr4d 2654 . . 3 ((𝜑𝐴𝐶) → (𝐴𝐿𝐶) = (𝐵𝐿𝐶))
4027, 39eleqtrd 2690 . 2 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
4118, 40pm2.61dane 2869 1 (𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  distcds 15777  TarskiGcstrkg 25129  Itvcitv 25135  LineGclng 25136 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-trkgc 25147  df-trkgb 25148  df-trkgcb 25149  df-trkg 25152  df-cgrg 25206 This theorem is referenced by:  mideulem2  25426  opphllem  25427  outpasch  25447
 Copyright terms: Public domain W3C validator