Proof of Theorem coltr
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | tglineintmo.p |
. . . . . . . 8
⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺) |
2 | | tglineintmo.i |
. . . . . . . 8
⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺) |
3 | | tglineintmo.l |
. . . . . . . 8
⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺) |
4 | | tglineintmo.g |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG) |
5 | 4 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
6 | | coltr.c |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃) |
7 | 6 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝑃) |
8 | | coltr.d |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃) |
9 | 8 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐷 ∈ 𝑃) |
10 | | simpr 476 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ≠ 𝐷) |
11 | 1, 2, 3, 5, 7, 9, 10 | tglinerflx1 25328 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) |
12 | 11 | ex 449 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐶 ≠ 𝐷 → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷))) |
13 | 12 | necon1bd 2800 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (¬ 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷) → 𝐶 = 𝐷)) |
14 | 13 | orrd 392 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) |
15 | 14 | adantr 480 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) |
16 | | simplr 788 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 = 𝐶) |
17 | | simpr 476 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) |
18 | 16, 17 | eqeltrd 2688 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) |
19 | 18 | ex 449 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷))) |
20 | 19 | orim1d 880 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → ((𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))) |
21 | 15, 20 | mpd 15 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) |
22 | | coltr.2 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) |
23 | 22 | ad2antrr 758 |
. . 3
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) |
24 | 4 | ad2antrr 758 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
25 | | coltr.a |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃) |
26 | 25 | ad2antrr 758 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑃) |
27 | 6 | ad2antrr 758 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑃) |
28 | 8 | ad2antrr 758 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑃) |
29 | | coltr.b |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃) |
30 | 29 | ad2antrr 758 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝑃) |
31 | | simpr 476 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) |
32 | 4 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
33 | 25 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑃) |
34 | 6 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃) |
35 | 29 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝑃) |
36 | | simpr 476 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐶) |
37 | | coltr.1 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶)) |
38 | 37 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶)) |
39 | 1, 3, 2, 32, 35, 34, 38 | tglngne 25245 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐵 ≠ 𝐶) |
40 | 39 | necomd 2837 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐶 ≠ 𝐵) |
41 | 1, 2, 3, 32, 34, 35, 33, 40, 38 | lncom 25317 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐵)) |
42 | 1, 2, 3, 32, 33, 34, 35, 36, 41, 40 | lnrot2 25319 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶)) |
43 | 42 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶)) |
44 | 1, 3, 2, 4, 29, 6,
37 | tglngne 25245 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶) |
45 | 44 | ad2antrr 758 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐵 ≠ 𝐶) |
46 | 1, 2, 3, 24, 26, 27, 28, 30, 31, 43, 45 | ncolncol 25341 |
. . 3
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → ¬ (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) |
47 | 23, 46 | condan 831 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) |
48 | 21, 47 | pm2.61dane 2869 |
1
⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) |