Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1fzgsumdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1fzgsumdlem 19492
 Description: Lemma for coe1fzgsumd 19493 (induction step). (Contributed by AV, 8-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1fzgsumd.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1fzgsumd.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1fzgsumd.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
coe1fzgsumd.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
coe1fzgsumdlem ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → ((∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑚   𝑥,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑎)   𝐵(𝑚,𝑎)   𝑃(𝑥,𝑚,𝑎)   𝑅(𝑥,𝑚,𝑎)   𝐾(𝑚,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑎)

Proof of Theorem coe1fzgsumdlem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ralunb 3756 . . 3 (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝐵 ↔ (∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵))
2 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦𝑀
3 nfcsb1v 3515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝑦 / 𝑥𝑀
4 csbeq1a 3508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦𝑀 = 𝑦 / 𝑥𝑀)
52, 3, 4cbvmpt 4677 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀) = (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝑀)
65oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝑀))
7 coe1fzgsumd.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (Base‘𝑃)
8 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (+g𝑃) = (+g𝑃)
9 coe1fzgsumd.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
10 coe1fzgsumd.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑃 = (Poly1𝑅)
1110ply1ring 19439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
13 ringcmn 18404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑃 ∈ CMnd)
15143ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → 𝑃 ∈ CMnd)
1615ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → 𝑃 ∈ CMnd)
17 simpll1 1093 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → 𝑚 ∈ Fin)
18 rspcsbela 3958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦𝑚 ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) → 𝑦 / 𝑥𝑀𝐵)
1918expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 → (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀𝐵))
2019adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) → (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀𝐵))
2120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀𝐵))
2221imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) ∧ 𝑦𝑚) → 𝑦 / 𝑥𝑀𝐵)
23 vex 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑎 ∈ V
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → 𝑎 ∈ V)
25 simpll2 1094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → ¬ 𝑎𝑚)
26 vsnid 4156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑎 ∈ {𝑎}
27 rspcsbela 3958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ {𝑎} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → 𝑎 / 𝑥𝑀𝐵)
2826, 27mpan 702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵𝑎 / 𝑥𝑀𝐵)
2928adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → 𝑎 / 𝑥𝑀𝐵)
30 csbeq1 3502 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑎𝑦 / 𝑥𝑀 = 𝑎 / 𝑥𝑀)
317, 8, 16, 17, 22, 24, 25, 29, 30gsumunsn 18182 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → (𝑃 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝑀)) = ((𝑃 Σg (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀))
326, 31syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)) = ((𝑃 Σg (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀))
332, 3, 4cbvmpt 4677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝑚𝑀) = (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀)
3433eqcomi 2619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀) = (𝑥𝑚𝑀)
3534oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 Σg (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀))
3635oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 Σg (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀) = ((𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀)
3732, 36syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)) = ((𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀))
3837fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀))) = (coe1‘((𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀)))
3938fveq1d 6105 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = ((coe1‘((𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀))‘𝐾))
4093ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → 𝑅 ∈ Ring)
4140ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
42 simplr 788 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵)
437, 16, 17, 42gsummptcl 18189 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → (𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)) ∈ 𝐵)
44 coe1fzgsumd.k . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
45443ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → 𝐾 ∈ ℕ0)
4645ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → 𝐾 ∈ ℕ0)
47 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4810, 7, 8, 47coe1addfv 19456 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)) ∈ 𝐵𝑎 / 𝑥𝑀𝐵) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀))‘𝐾) = (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾)(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)))
4941, 43, 29, 46, 48syl31anc 1321 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → ((coe1‘((𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀))‘𝐾) = (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾)(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)))
5039, 49eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾)(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)))
51 oveq1 6556 . . . . . . . . . 10 (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾)(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)) = ((𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)))
5250, 51sylan9eq 2664 . . . . . . . . 9 (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) ∧ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = ((𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)))
53 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦((coe1𝑀)‘𝐾)
54 nfcsb1v 3515 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾)
55 csbeq1a 3508 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → ((coe1𝑀)‘𝐾) = 𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾))
5653, 54, 55cbvmpt 4677 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)) = (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾))
5756oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾)))
58 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
59 ringcmn 18404 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
609, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
61603ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → 𝑅 ∈ CMnd)
6261ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
63 csbfv12 6141 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾) = (𝑦 / 𝑥(coe1𝑀)‘𝑦 / 𝑥𝐾)
64 vex 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦 ∈ V
65 csbfv2g 6142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ V → 𝑦 / 𝑥(coe1𝑀) = (coe1𝑦 / 𝑥𝑀))
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 / 𝑥(coe1𝑀) = (coe1𝑦 / 𝑥𝑀)
67 csbconstg 3512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ V → 𝑦 / 𝑥𝐾 = 𝐾)
6864, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 / 𝑥𝐾 = 𝐾
6966, 68fveq12i 6108 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 / 𝑥(coe1𝑀)‘𝑦 / 𝑥𝐾) = ((coe1𝑦 / 𝑥𝑀)‘𝐾)
7063, 69eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾) = ((coe1𝑦 / 𝑥𝑀)‘𝐾)
71 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (coe1𝑦 / 𝑥𝑀) = (coe1𝑦 / 𝑥𝑀)
7271, 7, 10, 58coe1f 19402 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 / 𝑥𝑀𝐵 → (coe1𝑦 / 𝑥𝑀):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
7322, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) ∧ 𝑦𝑚) → (coe1𝑦 / 𝑥𝑀):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
7445adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) → 𝐾 ∈ ℕ0)
7574ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) ∧ 𝑦𝑚) → 𝐾 ∈ ℕ0)
7673, 75ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) ∧ 𝑦𝑚) → ((coe1𝑦 / 𝑥𝑀)‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
7770, 76syl5eqel 2692 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) ∧ 𝑦𝑚) → 𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
78 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (coe1𝑎 / 𝑥𝑀) = (coe1𝑎 / 𝑥𝑀)
7978, 7, 10, 58coe1f 19402 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 / 𝑥𝑀𝐵 → (coe1𝑎 / 𝑥𝑀):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
8029, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → (coe1𝑎 / 𝑥𝑀):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
8180, 46ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → ((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
82 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑎
83 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥coe1
84 nfcsb1v 3515 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝑎 / 𝑥𝑀
8583, 84nffv 6110 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(coe1𝑎 / 𝑥𝑀)
86 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝐾
8785, 86nffv 6110 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)
88 csbeq1a 3508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑎𝑀 = 𝑎 / 𝑥𝑀)
8988fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑎 → (coe1𝑀) = (coe1𝑎 / 𝑥𝑀))
9089fveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑎 → ((coe1𝑀)‘𝐾) = ((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾))
9182, 87, 90csbhypf 3518 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑎𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾) = ((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾))
9258, 47, 62, 17, 77, 24, 25, 81, 91gsumunsn 18182 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾))) = ((𝑅 Σg (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾)))(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)))
9357, 92syl5eq 2656 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) = ((𝑅 Σg (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾)))(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)))
9453, 54, 55cbvmpt 4677 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)) = (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾))
9594eqcomi 2619 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾)) = (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))
9695oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 Σg (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))
9796oveq1i 6559 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Σg (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾)))(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)) = ((𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾))
9893, 97syl6req 2661 . . . . . . . . . 10 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → ((𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))
9998adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) ∧ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) → ((𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))
10052, 99eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) ∧ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))
101100exp31 628 . . . . . . 7 (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵 → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))))
102101com23 84 . . . . . 6 (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))))
103102ex 449 . . . . 5 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → (∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))))))
104103a2d 29 . . . 4 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → ((∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) → (∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))))))
105104imp4b 611 . . 3 (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ (∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))) → ((∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))))
1061, 105syl5bi 231 . 2 (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ (∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))))
107106ex 449 1 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → ((∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173  ⦋csb 3499   ∪ cun 3538  {csn 4125   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℕ0cn0 11169  Basecbs 15695  +gcplusg 15768   Σg cgsu 15924  CMndccmn 18016  Ringcrg 18370  Poly1cpl1 19368  coe1cco1 19369 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-ple 15788  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-subrg 18601  df-psr 19177  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-ply1 19373  df-coe1 19374 This theorem is referenced by:  coe1fzgsumd  19493
 Copyright terms: Public domain W3C validator