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Theorem coe1fzgsumdlem 18541
Description: Lemma for coe1fzgsumd 18542 (induction step). (Contributed by AV, 8-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1fzgsumd.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
coe1fzgsumd.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
coe1fzgsumd.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
coe1fzgsumd.k  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
coe1fzgsumdlem  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  (
( A. x  e.  m  M  e.  B  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  ( m  u.  { a } ) M  e.  B  -> 
( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  M ) ) ) `
 K )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, K    x, m    x, a
Allowed substitution hints:    ph( x, m, a)    B( m, a)    P( x, m, a)    R( x, m, a)    K( m, a)    M( x, m, a)

Proof of Theorem coe1fzgsumdlem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ralunb 3671 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( m  u.  { a } ) M  e.  B  <->  ( A. x  e.  m  M  e.  B  /\  A. x  e.  { a } M  e.  B ) )
2 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y M
3 nfcsb1v 3436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ M
4 csbeq1a 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  M  =  [_ y  /  x ]_ M )
52, 3, 4cbvmpt 4529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  M )  =  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ M )
65oveq2i 6281 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  M ) )  =  ( P 
gsumg  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ M ) )
7 coe1fzgsumd.b . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  =  ( Base `  P
)
8 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
9 coe1fzgsumd.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
10 coe1fzgsumd.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  P  =  (Poly1 `  R )
1110ply1ring 18487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
129, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
13 ringcmn 17427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. CMnd
)
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  P  e. CMnd )
15143ad2ant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  P  e. CMnd )
1615ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  P  e. CMnd )
17 simpll1 1033 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  m  e.  Fin )
18 rspcsbela 3845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  m  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  ->  [_ y  /  x ]_ M  e.  B
)
1918expcom 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  m  M  e.  B  ->  ( y  e.  m  ->  [_ y  /  x ]_ M  e.  B ) )
2019adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( m  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  ->  (
y  e.  m  ->  [_ y  /  x ]_ M  e.  B
) )
2120adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  (
y  e.  m  ->  [_ y  /  x ]_ M  e.  B
) )
2221imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  B
)  /\  y  e.  m )  ->  [_ y  /  x ]_ M  e.  B )
23 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  a  e. 
_V
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  a  e.  _V )
25 simpll2 1034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  -.  a  e.  m )
26 ssnid 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  a  e. 
{ a }
27 rspcsbela 3845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  { a }  /\  A. x  e.  { a } M  e.  B )  ->  [_ a  /  x ]_ M  e.  B )
2826, 27mpan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  { a } M  e.  B  ->  [_ a  /  x ]_ M  e.  B
)
2928adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  [_ a  /  x ]_ M  e.  B )
30 csbeq1 3423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  a  ->  [_ y  /  x ]_ M  = 
[_ a  /  x ]_ M )
317, 8, 16, 17, 22, 24, 25, 29, 30gsumunsn 17185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  ( P  gsumg  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ M ) )  =  ( ( P  gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) )
326, 31syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) )  =  ( ( P  gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) )
332, 3, 4cbvmpt 4529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  m  |->  M )  =  ( y  e.  m  |->  [_ y  /  x ]_ M )
3433eqcomi 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  m  |->  [_ y  /  x ]_ M )  =  ( x  e.  m  |->  M )
3534oveq2i 6281 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P 
gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ M ) )  =  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) )
3635oveq1i 6280 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M )  =  ( ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M )
3732, 36syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) )  =  ( ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) )
3837fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) )  =  (coe1 `  ( ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P
) [_ a  /  x ]_ M ) ) )
3938fveq1d 5850 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  (
(coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  M ) ) ) `
 K )  =  ( (coe1 `  ( ( P 
gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) ) `  K ) )
4093ad2ant3 1017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  R  e.  Ring )
4140ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
42 simplr 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  A. x  e.  m  M  e.  B )
437, 16, 17, 42gsummptcl 17193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) )  e.  B )
44 coe1fzgsumd.k . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
45443ad2ant3 1017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  K  e.  NN0 )
4645ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  K  e.  NN0 )
47 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4810, 7, 8, 47coe1addfv 18504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) )  e.  B  /\  [_ a  /  x ]_ M  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
(coe1 `  ( ( P 
gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) ) `  K )  =  ( ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  K
) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `
 K ) ) )
4941, 43, 29, 46, 48syl31anc 1229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  (
(coe1 `  ( ( P 
gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) ) `  K )  =  ( ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  K
) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `
 K ) ) )
5039, 49eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  (
(coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  M ) ) ) `
 K )  =  ( ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 K ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `  K ) ) )
51 oveq1 6277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) )  ->  ( ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 K ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `  K ) )  =  ( ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `  K ) ) )
5250, 51sylan9eq 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  B
)  /\  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 K )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) )  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `
 K ) ) )
53 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y
( (coe1 `  M ) `  K )
54 nfcsb1v 3436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K )
55 csbeq1a 3429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
(coe1 `  M ) `  K )  =  [_ y  /  x ]_ (
(coe1 `  M ) `  K ) )
5653, 54, 55cbvmpt 4529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  ( (coe1 `  M ) `  K ) )  =  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K
) )
5756oveq2i 6281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) )  =  ( R  gsumg  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K
) ) )
58 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
59 ringcmn 17427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
609, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
61603ad2ant3 1017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  R  e. CMnd )
6261ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  R  e. CMnd )
63 csbfv12 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K
)  =  ( [_ y  /  x ]_ (coe1 `  M ) `  [_ y  /  x ]_ K )
64 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
65 csbfv2g 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  _V  ->  [_ y  /  x ]_ (coe1 `  M
)  =  (coe1 `  [_ y  /  x ]_ M ) )
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  [_ y  /  x ]_ (coe1 `  M
)  =  (coe1 `  [_ y  /  x ]_ M )
67 csbconstg 3433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  _V  ->  [_ y  /  x ]_ K  =  K )
6864, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  [_ y  /  x ]_ K  =  K
6966, 68fveq12i 5853 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [_ y  /  x ]_ (coe1 `  M ) `  [_ y  /  x ]_ K )  =  ( (coe1 `  [_ y  /  x ]_ M ) `
 K )
7063, 69eqtri 2483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  [_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K
)  =  ( (coe1 ` 
[_ y  /  x ]_ M ) `  K
)
71 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (coe1 `  [_ y  /  x ]_ M )  =  (coe1 `  [_ y  /  x ]_ M )
7271, 7, 10, 58coe1f 18448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( [_ y  /  x ]_ M  e.  B  ->  (coe1 `  [_ y  /  x ]_ M ) : NN0 --> ( Base `  R ) )
7322, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  B
)  /\  y  e.  m )  ->  (coe1 `  [_ y  /  x ]_ M ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
7445adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  ->  K  e.  NN0 )
7574ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  B
)  /\  y  e.  m )  ->  K  e.  NN0 )
7673, 75ffvelrnd 6008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  B
)  /\  y  e.  m )  ->  (
(coe1 `  [_ y  /  x ]_ M ) `  K )  e.  (
Base `  R )
)
7770, 76syl5eqel 2546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  B
)  /\  y  e.  m )  ->  [_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K
)  e.  ( Base `  R ) )
78 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M )  =  (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M )
7978, 7, 10, 58coe1f 18448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [_ a  /  x ]_ M  e.  B  ->  (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) : NN0 --> ( Base `  R ) )
8029, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
8180, 46ffvelrnd 6008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  (
(coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `  K )  e.  (
Base `  R )
)
82 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
a
83 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ xcoe1
84 nfcsb1v 3436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x [_ a  /  x ]_ M
8583, 84nffv 5855 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
(coe1 `  [_ a  /  x ]_ M )
86 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x K
8785, 86nffv 5855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `  K )
88 csbeq1a 3429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  M  =  [_ a  /  x ]_ M )
8988fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  (coe1 `  M )  =  (coe1 ` 
[_ a  /  x ]_ M ) )
9089fveq1d 5850 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  (
(coe1 `  M ) `  K )  =  ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `  K ) )
9182, 87, 90csbhypf 3439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  a  ->  [_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K
)  =  ( (coe1 ` 
[_ a  /  x ]_ M ) `  K
) )
9258, 47, 62, 17, 77, 24, 25, 81, 91gsumunsn 17185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K
) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( y  e.  m  |->  [_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `  K ) ) )
9357, 92syl5eq 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( y  e.  m  |->  [_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `  K ) ) )
9453, 54, 55cbvmpt 4529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) )  =  ( y  e.  m  |->  [_ y  /  x ]_ (
(coe1 `  M ) `  K ) )
9594eqcomi 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  m  |->  [_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K
) )  =  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) )
9695oveq2i 6281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R 
gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K ) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) )
9796oveq1i 6280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `
 K ) )  =  ( ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `
 K ) )
9893, 97syl6req 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  (
( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `
 K ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) )
9998adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  B
)  /\  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 K )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) )  ->  ( ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `
 K ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) )
10052, 99eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  B
)  /\  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 K )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) )  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) )
101100exp31 602 . . . . . . 7  |-  ( ( ( m  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  ->  ( A. x  e.  { a } M  e.  B  ->  ( ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 K )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) )  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) ) ) )
102101com23 78 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  ->  (
( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) )  ->  ( A. x  e.  { a } M  e.  B  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) ) ) )
103102ex 432 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  ( A. x  e.  m  M  e.  B  ->  ( ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) )  ->  ( A. x  e.  { a } M  e.  B  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) ) ) ) )
104103a2d 26 . . . 4  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  (
( A. x  e.  m  M  e.  B  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  m  M  e.  B  ->  ( A. x  e.  { a } M  e.  B  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  M ) ) ) `
 K )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) ) ) ) )
105104imp4b 588 . . 3  |-  ( ( ( m  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  m  /\  ph )  /\  ( A. x  e.  m  M  e.  B  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) ) )  ->  (
( A. x  e.  m  M  e.  B  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  (
(coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  M ) ) ) `
 K )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) ) )
1061, 105syl5bi 217 . 2  |-  ( ( ( m  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  m  /\  ph )  /\  ( A. x  e.  m  M  e.  B  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  (
m  u.  { a } ) M  e.  B  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) ) )
107106ex 432 1  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  (
( A. x  e.  m  M  e.  B  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  ( m  u.  { a } ) M  e.  B  -> 
( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  M ) ) ) `
 K )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106   [_csb 3420    u. cun 3459   {csn 4016    |-> cmpt 4497   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   NN0cn0 10791   Basecbs 14719   +g cplusg 14787    gsumg cgsu 14933  CMndccmn 17000   Ringcrg 17396  Poly1cpl1 18414  coe1cco1 18415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-ofr 6514  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-hash 12391  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-tset 14806  df-ple 14807  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-mhm 16168  df-submnd 16169  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-mulg 16262  df-subg 16400  df-ghm 16467  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-abl 17003  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-subrg 17625  df-psr 18203  df-mpl 18205  df-opsr 18207  df-psr1 18417  df-ply1 18419  df-coe1 18420
This theorem is referenced by:  coe1fzgsumd  18542
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