Theorem coe1fzgsumdlem 18541

Description: Lemma for coe1fzgsumd 18542 (induction step). (Contributed by AV, 8-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1fzgsumd.p	|- P = (Poly1 ` R )
coe1fzgsumd.b	|- B = ( Base ` P )
coe1fzgsumd.r	|- ( ph -> R e. Ring )
coe1fzgsumd.k	|- ( ph -> K e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
coe1fzgsumdlem	|- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> ( ( A. x e. m M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) -> ( A. x e. ( m u. { a } ) M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, K   x, m   x, a

Allowed substitution hints:   ph( x, m, a)   B( m, a)   P( x, m, a)   R( x, m, a)   K( m, a)   M( x, m, a)

Proof of Theorem coe1fzgsumdlem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralunb 3671	. . 3 |- ( A. x e. ( m u. { a } ) M e. B <-> ( A. x e. m M e. B /\ A. x e. { a } M e. B ) )
2		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ y M
3		nfcsb1v 3436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x [_ y / x ]_ M
4		csbeq1a 3429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> M = [_ y / x ]_ M )
5	2, 3, 4	cbvmpt 4529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) = ( y e. ( m u. { a } ) |-> [_ y / x ]_ M )
6	5	oveq2i 6281	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) = ( P gsumg ( y e. ( m u. { a } ) |-> [_ y / x ]_ M ) )
7		coe1fzgsumd.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- B = ( Base ` P )
8		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( +g ` P ) = ( +g ` P )
9		coe1fzgsumd.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> R e. Ring )
10		coe1fzgsumd.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- P = (Poly1 ` R )
11	10	ply1ring 18487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
12	9, 11	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> P e. Ring )
13		ringcmn 17427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. Ring -> P e. CMnd )
14	12, 13	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> P e. CMnd )
15	14	3ad2ant3 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> P e. CMnd )
16	15	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> P e. CMnd )
17		simpll1 1033	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> m e. Fin )
18		rspcsbela 3845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. m /\ A. x e. m M e. B ) -> [_ y / x ]_ M e. B )
19	18	expcom 433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. x e. m M e. B -> ( y e. m -> [_ y / x ]_ M e. B ) )
20	19	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) -> ( y e. m -> [_ y / x ]_ M e. B ) )
21	20	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( y e. m -> [_ y / x ]_ M e. B ) )
22	21	imp 427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) /\ y e. m ) -> [_ y / x ]_ M e. B )
23		vex 3109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- a e. _V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> a e. _V )
25		simpll2 1034	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> -. a e. m )
26		ssnid 4045	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- a e. { a }
27		rspcsbela 3845	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( a e. { a } /\ A. x e. { a } M e. B ) -> [_ a / x ]_ M e. B )
28	26, 27	mpan 668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. x e. { a } M e. B -> [_ a / x ]_ M e. B )
29	28	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> [_ a / x ]_ M e. B )
30		csbeq1 3423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = a -> [_ y / x ]_ M = [_ a / x ]_ M )
31	7, 8, 16, 17, 22, 24, 25, 29, 30	gsumunsn 17185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( P gsumg ( y e. ( m u. { a } ) |-> [_ y / x ]_ M ) ) = ( ( P gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) )
32	6, 31	syl5eq 2507	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) = ( ( P gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) )
33	2, 3, 4	cbvmpt 4529	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. m |-> M ) = ( y e. m |-> [_ y / x ]_ M )
34	33	eqcomi 2467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. m |-> [_ y / x ]_ M ) = ( x e. m |-> M )
35	34	oveq2i 6281	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ M ) ) = ( P gsumg ( x e. m |-> M ) )
36	35	oveq1i 6280	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) = ( ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M )
37	32, 36	syl6eq 2511	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) = ( ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) )
38	37	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) = (coe1 ` ( ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) ) )
39	38	fveq1d 5850	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( (coe1 ` ( ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) ) ` K ) )
40	9	3ad2ant3 1017	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> R e. Ring )
41	40	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> R e. Ring )
42		simplr 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> A. x e. m M e. B )
43	7, 16, 17, 42	gsummptcl 17193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) e. B )
44		coe1fzgsumd.k	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> K e. NN0 )
45	44	3ad2ant3 1017	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> K e. NN0 )
46	45	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> K e. NN0 )
47		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
48	10, 7, 8, 47	coe1addfv 18504	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) e. B /\ [_ a / x ]_ M e. B ) /\ K e. NN0 ) -> ( (coe1 ` ( ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) ) ` K ) = ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) )
49	41, 43, 29, 46, 48	syl31anc 1229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( (coe1 ` ( ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) ) ` K ) = ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) )
50	39, 49	eqtrd 2495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) )
51		oveq1 6277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) -> ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) = ( ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) )
52	50, 51	sylan9eq 2515	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) /\ ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) )
53		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y ( (coe1 ` M ) ` K )
54		nfcsb1v 3436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K )
55		csbeq1a 3429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( (coe1 ` M ) ` K ) = [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) )
56	53, 54, 55	cbvmpt 4529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) = ( y e. ( m u. { a } ) |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) )
57	56	oveq2i 6281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) = ( R gsumg ( y e. ( m u. { a } ) |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) ) )
58		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
59		ringcmn 17427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
60	9, 59	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> R e. CMnd )
61	60	3ad2ant3 1017	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> R e. CMnd )
62	61	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> R e. CMnd )
63		csbfv12 5883	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) = ( [_ y / x ]_ (coe1 ` M ) ` [_ y / x ]_ K )
64		vex 3109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- y e. _V
65		csbfv2g 5884	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. _V -> [_ y / x ]_ (coe1 ` M ) = (coe1 ` [_ y / x ]_ M ) )
66	64, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- [_ y / x ]_ (coe1 ` M ) = (coe1 ` [_ y / x ]_ M )
67		csbconstg 3433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. _V -> [_ y / x ]_ K = K )
68	64, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- [_ y / x ]_ K = K
69	66, 68	fveq12i 5853	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [_ y / x ]_ (coe1 ` M ) ` [_ y / x ]_ K ) = ( (coe1 ` [_ y / x ]_ M ) ` K )
70	63, 69	eqtri 2483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) = ( (coe1 ` [_ y / x ]_ M ) ` K )
71		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (coe1 ` [_ y / x ]_ M ) = (coe1 ` [_ y / x ]_ M )
72	71, 7, 10, 58	coe1f 18448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( [_ y / x ]_ M e. B -> (coe1 ` [_ y / x ]_ M ) : NN0 --> ( Base ` R ) )
73	22, 72	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) /\ y e. m ) -> (coe1 ` [_ y / x ]_ M ) : NN0 --> ( Base ` R ) )
74	45	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) -> K e. NN0 )
75	74	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) /\ y e. m ) -> K e. NN0 )
76	73, 75	ffvelrnd 6008	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) /\ y e. m ) -> ( (coe1 ` [_ y / x ]_ M ) ` K ) e. ( Base ` R ) )
77	70, 76	syl5eqel 2546	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) /\ y e. m ) -> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) e. ( Base ` R ) )
78		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) = (coe1 ` [_ a / x ]_ M )
79	78, 7, 10, 58	coe1f 18448	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [_ a / x ]_ M e. B -> (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) : NN0 --> ( Base ` R ) )
80	29, 79	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) : NN0 --> ( Base ` R ) )
81	80, 46	ffvelrnd 6008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) e. ( Base ` R ) )
82		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x a
83		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ xcoe1
84		nfcsb1v 3436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x [_ a / x ]_ M
85	83, 84	nffv 5855	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x (coe1 ` [_ a / x ]_ M )
86		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x K
87	85, 86	nffv 5855	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K )
88		csbeq1a 3429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> M = [_ a / x ]_ M )
89	88	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> (coe1 ` M ) = (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) )
90	89	fveq1d 5850	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = a -> ( (coe1 ` M ) ` K ) = ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) )
91	82, 87, 90	csbhypf 3439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = a -> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) = ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) )
92	58, 47, 62, 17, 77, 24, 25, 81, 91	gsumunsn 17185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( R gsumg ( y e. ( m u. { a } ) |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) = ( ( R gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) )
93	57, 92	syl5eq 2507	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) = ( ( R gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) )
94	53, 54, 55	cbvmpt 4529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) = ( y e. m |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) )
95	94	eqcomi 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. m |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) ) = ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) )
96	95	oveq2i 6281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) )
97	96	oveq1i 6280	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) = ( ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) )
98	93, 97	syl6req 2512	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) )
99	98	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) /\ ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) -> ( ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) )
100	52, 99	eqtrd 2495	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) /\ ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) )
101	100	exp31 602	. . . . . . 7 |- ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) -> ( A. x e. { a } M e. B -> ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) )
102	101	com23 78	. . . . . 6 |- ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) -> ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) -> ( A. x e. { a } M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) )
103	102	ex 432	. . . . 5 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> ( A. x e. m M e. B -> ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) -> ( A. x e. { a } M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) ) )
104	103	a2d 26	. . . 4 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> ( ( A. x e. m M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) -> ( A. x e. m M e. B -> ( A. x e. { a } M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) ) )
105	104	imp4b 588	. . 3 |- ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ ( A. x e. m M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) -> ( ( A. x e. m M e. B /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) )
106	1, 105	syl5bi 217	. 2 |- ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ ( A. x e. m M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) -> ( A. x e. ( m u. { a } ) M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) )
107	106	ex 432	1 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> ( ( A. x e. m M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) -> ( A. x e. ( m u. { a } ) M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106   [_csb 3420   u. cun 3459   {csn 4016   |-> cmpt 4497   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   NN0cn0 10791   Basecbs 14719   +g cplusg 14787   gsum_g cgsu 14933  CMndccmn 17000   Ringcrg 17396  Poly₁cpl1 18414  coe₁cco1 18415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-ofr 6514  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-hash 12391  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-tset 14806  df-ple 14807  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-mhm 16168  df-submnd 16169  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-mulg 16262  df-subg 16400  df-ghm 16467  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-abl 17003  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-subrg 17625  df-psr 18203  df-mpl 18205  df-opsr 18207  df-psr1 18417  df-ply1 18419  df-coe1 18420

This theorem is referenced by:  coe1fzgsumd  18542