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Theorem coe1fzgsumdlem 18109
Description: Lemma for coe1fzgsumd 18110 (induction step). (Contributed by AV, 8-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1fzgsumd.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
coe1fzgsumd.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
coe1fzgsumd.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
coe1fzgsumd.k  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
coe1fzgsumdlem  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  (
( A. x  e.  m  M  e.  B  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  ( m  u.  { a } ) M  e.  B  -> 
( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  M ) ) ) `
 K )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, K    x, m    x, a
Allowed substitution hints:    ph( x, m, a)    B( m, a)    P( x, m, a)    R( x, m, a)    K( m, a)    M( x, m, a)

Proof of Theorem coe1fzgsumdlem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ralunb 3680 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( m  u.  { a } ) M  e.  B  <->  ( A. x  e.  m  M  e.  B  /\  A. x  e.  { a } M  e.  B ) )
2 nfcv 2624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y M
3 nfcsb1v 3446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ M
4 csbeq1a 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  M  =  [_ y  /  x ]_ M )
52, 3, 4cbvmpt 4532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  M )  =  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ M )
65oveq2i 6288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  M ) )  =  ( P 
gsumg  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ M ) )
7 coe1fzgsumd.b . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  =  ( Base `  P
)
8 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
9 coe1fzgsumd.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
10 coe1fzgsumd.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  P  =  (Poly1 `  R )
1110ply1rng 18055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
129, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
13 rngcmn 17011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. CMnd
)
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  P  e. CMnd )
15143ad2ant3 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  P  e. CMnd )
1615ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  P  e. CMnd )
17 simpll1 1030 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  m  e.  Fin )
18 rspcsbela 3848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  m  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  ->  [_ y  /  x ]_ M  e.  B
)
1918expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  m  M  e.  B  ->  ( y  e.  m  ->  [_ y  /  x ]_ M  e.  B ) )
2019adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( m  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  ->  (
y  e.  m  ->  [_ y  /  x ]_ M  e.  B
) )
2120adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  (
y  e.  m  ->  [_ y  /  x ]_ M  e.  B
) )
2221imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  B
)  /\  y  e.  m )  ->  [_ y  /  x ]_ M  e.  B )
23 vex 3111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  a  e. 
_V
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  a  e.  _V )
25 simpll2 1031 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  -.  a  e.  m )
26 ssnid 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  a  e. 
{ a }
27 rspcsbela 3848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  { a }  /\  A. x  e.  { a } M  e.  B )  ->  [_ a  /  x ]_ M  e.  B )
2826, 27mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  { a } M  e.  B  ->  [_ a  /  x ]_ M  e.  B
)
2928adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  [_ a  /  x ]_ M  e.  B )
30 csbeq1 3433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  a  ->  [_ y  /  x ]_ M  = 
[_ a  /  x ]_ M )
317, 8, 16, 17, 22, 24, 25, 29, 30gsumunsn 16772 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  ( P  gsumg  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ M ) )  =  ( ( P  gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) )
326, 31syl5eq 2515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) )  =  ( ( P  gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) )
332, 3, 4cbvmpt 4532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  m  |->  M )  =  ( y  e.  m  |->  [_ y  /  x ]_ M )
3433eqcomi 2475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  m  |->  [_ y  /  x ]_ M )  =  ( x  e.  m  |->  M )
3534oveq2i 6288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P 
gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ M ) )  =  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) )
3635oveq1i 6287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M )  =  ( ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M )
3732, 36syl6eq 2519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) )  =  ( ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) )
3837fveq2d 5863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) )  =  (coe1 `  ( ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P
) [_ a  /  x ]_ M ) ) )
3938fveq1d 5861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  (
(coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  M ) ) ) `
 K )  =  ( (coe1 `  ( ( P 
gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) ) `  K ) )
4093ad2ant3 1014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  R  e.  Ring )
4140ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
42 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  A. x  e.  m  M  e.  B )
437, 16, 17, 42gsummptcl 16780 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) )  e.  B )
44 coe1fzgsumd.k . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
45443ad2ant3 1014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  K  e.  NN0 )
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  K  e.  NN0 )
47 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4810, 7, 8, 47coe1addfv 18072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) )  e.  B  /\  [_ a  /  x ]_ M  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
(coe1 `  ( ( P 
gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) ) `  K )  =  ( ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  K
) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `
 K ) ) )
4941, 43, 29, 46, 48syl31anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  (
(coe1 `  ( ( P 
gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) ) `  K )  =  ( ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  K
) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `
 K ) ) )
5039, 49eqtrd 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  (
(coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  M ) ) ) `
 K )  =  ( ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 K ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `  K ) ) )
51 oveq1 6284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) )  ->  ( ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 K ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `  K ) )  =  ( ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `  K ) ) )
5250, 51sylan9eq 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  B
)  /\  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 K )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) )  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `
 K ) ) )
53 nfcv 2624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y
( (coe1 `  M ) `  K )
54 nfcsb1v 3446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K )
55 csbeq1a 3439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
(coe1 `  M ) `  K )  =  [_ y  /  x ]_ (
(coe1 `  M ) `  K ) )
5653, 54, 55cbvmpt 4532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  ( (coe1 `  M ) `  K ) )  =  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K
) )
5756oveq2i 6288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) )  =  ( R  gsumg  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K
) ) )
58 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
59 rngcmn 17011 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
609, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
61603ad2ant3 1014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  R  e. CMnd )
6261ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  R  e. CMnd )
63 csbfv12 5894 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K
)  =  ( [_ y  /  x ]_ (coe1 `  M ) `  [_ y  /  x ]_ K )
64 vex 3111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
65 csbfv2g 5896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  _V  ->  [_ y  /  x ]_ (coe1 `  M
)  =  (coe1 `  [_ y  /  x ]_ M ) )
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  [_ y  /  x ]_ (coe1 `  M
)  =  (coe1 `  [_ y  /  x ]_ M )
67 csbconstg 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  _V  ->  [_ y  /  x ]_ K  =  K )
6864, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  [_ y  /  x ]_ K  =  K
6966, 68fveq12i 5864 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [_ y  /  x ]_ (coe1 `  M ) `  [_ y  /  x ]_ K )  =  ( (coe1 `  [_ y  /  x ]_ M ) `
 K )
7063, 69eqtri 2491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  [_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K
)  =  ( (coe1 ` 
[_ y  /  x ]_ M ) `  K
)
71 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (coe1 `  [_ y  /  x ]_ M )  =  (coe1 `  [_ y  /  x ]_ M )
7271, 7, 10, 58coe1f 18016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( [_ y  /  x ]_ M  e.  B  ->  (coe1 `  [_ y  /  x ]_ M ) : NN0 --> ( Base `  R ) )
7322, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  B
)  /\  y  e.  m )  ->  (coe1 `  [_ y  /  x ]_ M ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
7445adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  ->  K  e.  NN0 )
7574ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  B
)  /\  y  e.  m )  ->  K  e.  NN0 )
7673, 75ffvelrnd 6015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  B
)  /\  y  e.  m )  ->  (
(coe1 `  [_ y  /  x ]_ M ) `  K )  e.  (
Base `  R )
)
7770, 76syl5eqel 2554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  B
)  /\  y  e.  m )  ->  [_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K
)  e.  ( Base `  R ) )
78 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M )  =  (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M )
7978, 7, 10, 58coe1f 18016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [_ a  /  x ]_ M  e.  B  ->  (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) : NN0 --> ( Base `  R ) )
8029, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
8180, 46ffvelrnd 6015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  (
(coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `  K )  e.  (
Base `  R )
)
82 nfcv 2624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
a
83 nfcv 2624 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ xcoe1
84 nfcsb1v 3446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x [_ a  /  x ]_ M
8583, 84nffv 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
(coe1 `  [_ a  /  x ]_ M )
86 nfcv 2624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x K
8785, 86nffv 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `  K )
88 csbeq1a 3439 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  M  =  [_ a  /  x ]_ M )
8988fveq2d 5863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  (coe1 `  M )  =  (coe1 ` 
[_ a  /  x ]_ M ) )
9089fveq1d 5861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  (
(coe1 `  M ) `  K )  =  ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `  K ) )
9182, 87, 90csbhypf 3449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  a  ->  [_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K
)  =  ( (coe1 ` 
[_ a  /  x ]_ M ) `  K
) )
9258, 47, 62, 17, 77, 24, 25, 81, 91gsumunsn 16772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K
) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( y  e.  m  |->  [_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `  K ) ) )
9357, 92syl5eq 2515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( y  e.  m  |->  [_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `  K ) ) )
9453, 54, 55cbvmpt 4532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) )  =  ( y  e.  m  |->  [_ y  /  x ]_ (
(coe1 `  M ) `  K ) )
9594eqcomi 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  m  |->  [_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K
) )  =  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) )
9695oveq2i 6288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R 
gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K ) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) )
9796oveq1i 6287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `
 K ) )  =  ( ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `
 K ) )
9893, 97syl6req 2520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  (
( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `
 K ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) )
9998adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  B
)  /\  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 K )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) )  ->  ( ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `
 K ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) )
10052, 99eqtrd 2503 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  B
)  /\  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 K )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) )  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) )
101100exp31 604 . . . . . . 7  |-  ( ( ( m  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  ->  ( A. x  e.  { a } M  e.  B  ->  ( ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 K )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) )  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) ) ) )
102101com23 78 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  ->  (
( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) )  ->  ( A. x  e.  { a } M  e.  B  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) ) ) )
103102ex 434 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  ( A. x  e.  m  M  e.  B  ->  ( ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) )  ->  ( A. x  e.  { a } M  e.  B  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) ) ) ) )
104103a2d 26 . . . 4  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  (
( A. x  e.  m  M  e.  B  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  m  M  e.  B  ->  ( A. x  e.  { a } M  e.  B  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  M ) ) ) `
 K )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) ) ) ) )
105104imp4b 590 . . 3  |-  ( ( ( m  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  m  /\  ph )  /\  ( A. x  e.  m  M  e.  B  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) ) )  ->  (
( A. x  e.  m  M  e.  B  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  (
(coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  M ) ) ) `
 K )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) ) )
1061, 105syl5bi 217 . 2  |-  ( ( ( m  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  m  /\  ph )  /\  ( A. x  e.  m  M  e.  B  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  (
m  u.  { a } ) M  e.  B  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) ) )
107106ex 434 1  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  (
( A. x  e.  m  M  e.  B  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  ( m  u.  { a } ) M  e.  B  -> 
( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  M ) ) ) `
 K )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809   _Vcvv 3108   [_csb 3430    u. cun 3469   {csn 4022    |-> cmpt 4500   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Fincfn 7508   NN0cn0 10786   Basecbs 14481   +g cplusg 14546    gsumg cgsu 14687  CMndccmn 16589   Ringcrg 16981  Poly1cpl1 17982  coe1cco1 17983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-ofr 6518  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-oi 7926  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-seq 12066  df-hash 12363  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-tset 14565  df-ple 14566  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-mhm 15772  df-submnd 15773  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-mulg 15856  df-subg 15988  df-ghm 16055  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-abl 16592  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-subrg 17205  df-psr 17771  df-mpl 17773  df-opsr 17775  df-psr1 17985  df-ply1 17987  df-coe1 17988
This theorem is referenced by:  coe1fzgsumd  18110
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