Theorem coe1fzgsumdlem 18943

Description: Lemma for coe1fzgsumd 18944 (induction step). (Contributed by AV, 8-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1fzgsumd.p	|- P = (Poly1 ` R )
coe1fzgsumd.b	|- B = ( Base ` P )
coe1fzgsumd.r	|- ( ph -> R e. Ring )
coe1fzgsumd.k	|- ( ph -> K e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
coe1fzgsumdlem	|- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> ( ( A. x e. m M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) -> ( A. x e. ( m u. { a } ) M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, K   x, m   x, a

Allowed substitution hints:   ph( x, m, a)   B( m, a)   P( x, m, a)   R( x, m, a)   K( m, a)   M( x, m, a)

Proof of Theorem coe1fzgsumdlem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralunb 3626	. . 3 |- ( A. x e. ( m u. { a } ) M e. B <-> ( A. x e. m M e. B /\ A. x e. { a } M e. B ) )
2		nfcv 2602	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ y M
3		nfcsb1v 3390	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x [_ y / x ]_ M
4		csbeq1a 3383	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> M = [_ y / x ]_ M )
5	2, 3, 4	cbvmpt 4507	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) = ( y e. ( m u. { a } ) |-> [_ y / x ]_ M )
6	5	oveq2i 6325	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) = ( P gsumg ( y e. ( m u. { a } ) |-> [_ y / x ]_ M ) )
7		coe1fzgsumd.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- B = ( Base ` P )
8		eqid 2461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( +g ` P ) = ( +g ` P )
9		coe1fzgsumd.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> R e. Ring )
10		coe1fzgsumd.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- P = (Poly1 ` R )
11	10	ply1ring 18889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
12	9, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> P e. Ring )
13		ringcmn 17859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. Ring -> P e. CMnd )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> P e. CMnd )
15	14	3ad2ant3 1037	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> P e. CMnd )
16	15	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> P e. CMnd )
17		simpll1 1053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> m e. Fin )
18		rspcsbela 3806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. m /\ A. x e. m M e. B ) -> [_ y / x ]_ M e. B )
19	18	expcom 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. x e. m M e. B -> ( y e. m -> [_ y / x ]_ M e. B ) )
20	19	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) -> ( y e. m -> [_ y / x ]_ M e. B ) )
21	20	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( y e. m -> [_ y / x ]_ M e. B ) )
22	21	imp 435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) /\ y e. m ) -> [_ y / x ]_ M e. B )
23		vex 3059	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- a e. _V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> a e. _V )
25		simpll2 1054	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> -. a e. m )
26		ssnid 4008	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- a e. { a }
27		rspcsbela 3806	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( a e. { a } /\ A. x e. { a } M e. B ) -> [_ a / x ]_ M e. B )
28	26, 27	mpan 681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. x e. { a } M e. B -> [_ a / x ]_ M e. B )
29	28	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> [_ a / x ]_ M e. B )
30		csbeq1 3377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = a -> [_ y / x ]_ M = [_ a / x ]_ M )
31	7, 8, 16, 17, 22, 24, 25, 29, 30	gsumunsn 17640	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( P gsumg ( y e. ( m u. { a } ) |-> [_ y / x ]_ M ) ) = ( ( P gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) )
32	6, 31	syl5eq 2507	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) = ( ( P gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) )
33	2, 3, 4	cbvmpt 4507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. m |-> M ) = ( y e. m |-> [_ y / x ]_ M )
34	33	eqcomi 2470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. m |-> [_ y / x ]_ M ) = ( x e. m |-> M )
35	34	oveq2i 6325	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ M ) ) = ( P gsumg ( x e. m |-> M ) )
36	35	oveq1i 6324	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) = ( ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M )
37	32, 36	syl6eq 2511	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) = ( ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) )
38	37	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) = (coe1 ` ( ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) ) )
39	38	fveq1d 5889	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( (coe1 ` ( ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) ) ` K ) )
40	9	3ad2ant3 1037	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> R e. Ring )
41	40	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> R e. Ring )
42		simplr 767	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> A. x e. m M e. B )
43	7, 16, 17, 42	gsummptcl 17647	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) e. B )
44		coe1fzgsumd.k	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> K e. NN0 )
45	44	3ad2ant3 1037	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> K e. NN0 )
46	45	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> K e. NN0 )
47		eqid 2461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
48	10, 7, 8, 47	coe1addfv 18906	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) e. B /\ [_ a / x ]_ M e. B ) /\ K e. NN0 ) -> ( (coe1 ` ( ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) ) ` K ) = ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) )
49	41, 43, 29, 46, 48	syl31anc 1279	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( (coe1 ` ( ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) ) ` K ) = ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) )
50	39, 49	eqtrd 2495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) )
51		oveq1 6321	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) -> ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) = ( ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) )
52	50, 51	sylan9eq 2515	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) /\ ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) )
53		nfcv 2602	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y ( (coe1 ` M ) ` K )
54		nfcsb1v 3390	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K )
55		csbeq1a 3383	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( (coe1 ` M ) ` K ) = [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) )
56	53, 54, 55	cbvmpt 4507	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) = ( y e. ( m u. { a } ) |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) )
57	56	oveq2i 6325	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) = ( R gsumg ( y e. ( m u. { a } ) |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) ) )
58		eqid 2461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
59		ringcmn 17859	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
60	9, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> R e. CMnd )
61	60	3ad2ant3 1037	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> R e. CMnd )
62	61	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> R e. CMnd )
63		csbfv12 5922	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) = ( [_ y / x ]_ (coe1 ` M ) ` [_ y / x ]_ K )
64		vex 3059	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- y e. _V
65		csbfv2g 5923	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. _V -> [_ y / x ]_ (coe1 ` M ) = (coe1 ` [_ y / x ]_ M ) )
66	64, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- [_ y / x ]_ (coe1 ` M ) = (coe1 ` [_ y / x ]_ M )
67		csbconstg 3387	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. _V -> [_ y / x ]_ K = K )
68	64, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- [_ y / x ]_ K = K
69	66, 68	fveq12i 5892	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [_ y / x ]_ (coe1 ` M ) ` [_ y / x ]_ K ) = ( (coe1 ` [_ y / x ]_ M ) ` K )
70	63, 69	eqtri 2483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) = ( (coe1 ` [_ y / x ]_ M ) ` K )
71		eqid 2461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (coe1 ` [_ y / x ]_ M ) = (coe1 ` [_ y / x ]_ M )
72	71, 7, 10, 58	coe1f 18852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( [_ y / x ]_ M e. B -> (coe1 ` [_ y / x ]_ M ) : NN0 --> ( Base ` R ) )
73	22, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) /\ y e. m ) -> (coe1 ` [_ y / x ]_ M ) : NN0 --> ( Base ` R ) )
74	45	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) -> K e. NN0 )
75	74	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) /\ y e. m ) -> K e. NN0 )
76	73, 75	ffvelrnd 6045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) /\ y e. m ) -> ( (coe1 ` [_ y / x ]_ M ) ` K ) e. ( Base ` R ) )
77	70, 76	syl5eqel 2543	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) /\ y e. m ) -> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) e. ( Base ` R ) )
78		eqid 2461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) = (coe1 ` [_ a / x ]_ M )
79	78, 7, 10, 58	coe1f 18852	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [_ a / x ]_ M e. B -> (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) : NN0 --> ( Base ` R ) )
80	29, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) : NN0 --> ( Base ` R ) )
81	80, 46	ffvelrnd 6045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) e. ( Base ` R ) )
82		nfcv 2602	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x a
83		nfcv 2602	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ xcoe1
84		nfcsb1v 3390	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x [_ a / x ]_ M
85	83, 84	nffv 5894	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x (coe1 ` [_ a / x ]_ M )
86		nfcv 2602	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x K
87	85, 86	nffv 5894	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K )
88		csbeq1a 3383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> M = [_ a / x ]_ M )
89	88	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> (coe1 ` M ) = (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) )
90	89	fveq1d 5889	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = a -> ( (coe1 ` M ) ` K ) = ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) )
91	82, 87, 90	csbhypf 3393	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = a -> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) = ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) )
92	58, 47, 62, 17, 77, 24, 25, 81, 91	gsumunsn 17640	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( R gsumg ( y e. ( m u. { a } ) |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) = ( ( R gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) )
93	57, 92	syl5eq 2507	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) = ( ( R gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) )
94	53, 54, 55	cbvmpt 4507	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) = ( y e. m |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) )
95	94	eqcomi 2470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. m |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) ) = ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) )
96	95	oveq2i 6325	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) )
97	96	oveq1i 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) = ( ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) )
98	93, 97	syl6req 2512	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) )
99	98	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) /\ ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) -> ( ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) )
100	52, 99	eqtrd 2495	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) /\ ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) )
101	100	exp31 613	. . . . . . 7 |- ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) -> ( A. x e. { a } M e. B -> ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) )
102	101	com23 81	. . . . . 6 |- ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) -> ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) -> ( A. x e. { a } M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) )
103	102	ex 440	. . . . 5 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> ( A. x e. m M e. B -> ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) -> ( A. x e. { a } M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) ) )
104	103	a2d 29	. . . 4 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> ( ( A. x e. m M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) -> ( A. x e. m M e. B -> ( A. x e. { a } M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) ) )
105	104	imp4b 599	. . 3 |- ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ ( A. x e. m M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) -> ( ( A. x e. m M e. B /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) )
106	1, 105	syl5bi 225	. 2 |- ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ ( A. x e. m M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) -> ( A. x e. ( m u. { a } ) M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) )
107	106	ex 440	1 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> ( ( A. x e. m M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) -> ( A. x e. ( m u. { a } ) M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1454   e. wcel 1897   A.wral 2748   _Vcvv 3056   [_csb 3374   u. cun 3413   {csn 3979   |-> cmpt 4474   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   Fincfn 7594   NN0cn0 10897   Basecbs 15169   +g cplusg 15238   gsum_g cgsu 15387  CMndccmn 17478   Ringcrg 17828  Poly₁cpl1 18818  coe₁cco1 18819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-iin 4294  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-ofr 6558  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-supp 6941  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-pm 7500  df-ixp 7548  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fsupp 7909  df-oi 8050  df-card 8398  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-7 10700  df-8 10701  df-9 10702  df-10 10703  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-seq 12245  df-hash 12547  df-struct 15171  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-mulr 15252  df-sca 15254  df-vsca 15255  df-tset 15257  df-ple 15258  df-0g 15388  df-gsum 15389  df-mre 15540  df-mrc 15541  df-acs 15543  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-mhm 16630  df-submnd 16631  df-grp 16721  df-minusg 16722  df-mulg 16724  df-subg 16862  df-ghm 16929  df-cntz 17019  df-cmn 17480  df-abl 17481  df-mgp 17772  df-ur 17784  df-ring 17830  df-subrg 18054  df-psr 18628  df-mpl 18630  df-opsr 18632  df-psr1 18821  df-ply1 18823  df-coe1 18824

This theorem is referenced by:  coe1fzgsumd  18944