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Theorem coe1fzgsumdlem 18943
Description: Lemma for coe1fzgsumd 18944 (induction step). (Contributed by AV, 8-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1fzgsumd.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
coe1fzgsumd.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
coe1fzgsumd.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
coe1fzgsumd.k  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
coe1fzgsumdlem  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  (
( A. x  e.  m  M  e.  B  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  ( m  u.  { a } ) M  e.  B  -> 
( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  M ) ) ) `
 K )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, K    x, m    x, a
Allowed substitution hints:    ph( x, m, a)    B( m, a)    P( x, m, a)    R( x, m, a)    K( m, a)    M( x, m, a)

Proof of Theorem coe1fzgsumdlem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ralunb 3626 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( m  u.  { a } ) M  e.  B  <->  ( A. x  e.  m  M  e.  B  /\  A. x  e.  { a } M  e.  B ) )
2 nfcv 2602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y M
3 nfcsb1v 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ M
4 csbeq1a 3383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  M  =  [_ y  /  x ]_ M )
52, 3, 4cbvmpt 4507 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  M )  =  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ M )
65oveq2i 6325 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  M ) )  =  ( P 
gsumg  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ M ) )
7 coe1fzgsumd.b . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  =  ( Base `  P
)
8 eqid 2461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
9 coe1fzgsumd.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
10 coe1fzgsumd.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  P  =  (Poly1 `  R )
1110ply1ring 18889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
13 ringcmn 17859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. CMnd
)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  P  e. CMnd )
15143ad2ant3 1037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  P  e. CMnd )
1615ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  P  e. CMnd )
17 simpll1 1053 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  m  e.  Fin )
18 rspcsbela 3806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  m  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  ->  [_ y  /  x ]_ M  e.  B
)
1918expcom 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  m  M  e.  B  ->  ( y  e.  m  ->  [_ y  /  x ]_ M  e.  B ) )
2019adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( m  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  ->  (
y  e.  m  ->  [_ y  /  x ]_ M  e.  B
) )
2120adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  (
y  e.  m  ->  [_ y  /  x ]_ M  e.  B
) )
2221imp 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  B
)  /\  y  e.  m )  ->  [_ y  /  x ]_ M  e.  B )
23 vex 3059 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  a  e. 
_V
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  a  e.  _V )
25 simpll2 1054 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  -.  a  e.  m )
26 ssnid 4008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  a  e. 
{ a }
27 rspcsbela 3806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  { a }  /\  A. x  e.  { a } M  e.  B )  ->  [_ a  /  x ]_ M  e.  B )
2826, 27mpan 681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  { a } M  e.  B  ->  [_ a  /  x ]_ M  e.  B
)
2928adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  [_ a  /  x ]_ M  e.  B )
30 csbeq1 3377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  a  ->  [_ y  /  x ]_ M  = 
[_ a  /  x ]_ M )
317, 8, 16, 17, 22, 24, 25, 29, 30gsumunsn 17640 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  ( P  gsumg  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ M ) )  =  ( ( P  gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) )
326, 31syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) )  =  ( ( P  gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) )
332, 3, 4cbvmpt 4507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  m  |->  M )  =  ( y  e.  m  |->  [_ y  /  x ]_ M )
3433eqcomi 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  m  |->  [_ y  /  x ]_ M )  =  ( x  e.  m  |->  M )
3534oveq2i 6325 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P 
gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ M ) )  =  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) )
3635oveq1i 6324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M )  =  ( ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M )
3732, 36syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) )  =  ( ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) )
3837fveq2d 5891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) )  =  (coe1 `  ( ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P
) [_ a  /  x ]_ M ) ) )
3938fveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  (
(coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  M ) ) ) `
 K )  =  ( (coe1 `  ( ( P 
gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) ) `  K ) )
4093ad2ant3 1037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  R  e.  Ring )
4140ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
42 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  A. x  e.  m  M  e.  B )
437, 16, 17, 42gsummptcl 17647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) )  e.  B )
44 coe1fzgsumd.k . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
45443ad2ant3 1037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  K  e.  NN0 )
4645ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  K  e.  NN0 )
47 eqid 2461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4810, 7, 8, 47coe1addfv 18906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) )  e.  B  /\  [_ a  /  x ]_ M  e.  B )  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
(coe1 `  ( ( P 
gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) ) `  K )  =  ( ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  K
) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `
 K ) ) )
4941, 43, 29, 46, 48syl31anc 1279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  (
(coe1 `  ( ( P 
gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) ) `  K )  =  ( ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  K
) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `
 K ) ) )
5039, 49eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  (
(coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  M ) ) ) `
 K )  =  ( ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 K ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `  K ) ) )
51 oveq1 6321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) )  ->  ( ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 K ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `  K ) )  =  ( ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `  K ) ) )
5250, 51sylan9eq 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  B
)  /\  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 K )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) )  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `
 K ) ) )
53 nfcv 2602 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y
( (coe1 `  M ) `  K )
54 nfcsb1v 3390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K )
55 csbeq1a 3383 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
(coe1 `  M ) `  K )  =  [_ y  /  x ]_ (
(coe1 `  M ) `  K ) )
5653, 54, 55cbvmpt 4507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  ( (coe1 `  M ) `  K ) )  =  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K
) )
5756oveq2i 6325 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) )  =  ( R  gsumg  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K
) ) )
58 eqid 2461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
59 ringcmn 17859 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
609, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
61603ad2ant3 1037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  R  e. CMnd )
6261ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  R  e. CMnd )
63 csbfv12 5922 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K
)  =  ( [_ y  /  x ]_ (coe1 `  M ) `  [_ y  /  x ]_ K )
64 vex 3059 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
65 csbfv2g 5923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  _V  ->  [_ y  /  x ]_ (coe1 `  M
)  =  (coe1 `  [_ y  /  x ]_ M ) )
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  [_ y  /  x ]_ (coe1 `  M
)  =  (coe1 `  [_ y  /  x ]_ M )
67 csbconstg 3387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  _V  ->  [_ y  /  x ]_ K  =  K )
6864, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  [_ y  /  x ]_ K  =  K
6966, 68fveq12i 5892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [_ y  /  x ]_ (coe1 `  M ) `  [_ y  /  x ]_ K )  =  ( (coe1 `  [_ y  /  x ]_ M ) `
 K )
7063, 69eqtri 2483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  [_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K
)  =  ( (coe1 ` 
[_ y  /  x ]_ M ) `  K
)
71 eqid 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (coe1 `  [_ y  /  x ]_ M )  =  (coe1 `  [_ y  /  x ]_ M )
7271, 7, 10, 58coe1f 18852 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( [_ y  /  x ]_ M  e.  B  ->  (coe1 `  [_ y  /  x ]_ M ) : NN0 --> ( Base `  R ) )
7322, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  B
)  /\  y  e.  m )  ->  (coe1 `  [_ y  /  x ]_ M ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
7445adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  ->  K  e.  NN0 )
7574ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  B
)  /\  y  e.  m )  ->  K  e.  NN0 )
7673, 75ffvelrnd 6045 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  B
)  /\  y  e.  m )  ->  (
(coe1 `  [_ y  /  x ]_ M ) `  K )  e.  (
Base `  R )
)
7770, 76syl5eqel 2543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  B
)  /\  y  e.  m )  ->  [_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K
)  e.  ( Base `  R ) )
78 eqid 2461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M )  =  (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M )
7978, 7, 10, 58coe1f 18852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [_ a  /  x ]_ M  e.  B  ->  (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) : NN0 --> ( Base `  R ) )
8029, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
8180, 46ffvelrnd 6045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  (
(coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `  K )  e.  (
Base `  R )
)
82 nfcv 2602 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
a
83 nfcv 2602 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ xcoe1
84 nfcsb1v 3390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x [_ a  /  x ]_ M
8583, 84nffv 5894 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
(coe1 `  [_ a  /  x ]_ M )
86 nfcv 2602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x K
8785, 86nffv 5894 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `  K )
88 csbeq1a 3383 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  M  =  [_ a  /  x ]_ M )
8988fveq2d 5891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  (coe1 `  M )  =  (coe1 ` 
[_ a  /  x ]_ M ) )
9089fveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  (
(coe1 `  M ) `  K )  =  ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `  K ) )
9182, 87, 90csbhypf 3393 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  a  ->  [_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K
)  =  ( (coe1 ` 
[_ a  /  x ]_ M ) `  K
) )
9258, 47, 62, 17, 77, 24, 25, 81, 91gsumunsn 17640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K
) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( y  e.  m  |->  [_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `  K ) ) )
9357, 92syl5eq 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( y  e.  m  |->  [_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `  K ) ) )
9453, 54, 55cbvmpt 4507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) )  =  ( y  e.  m  |->  [_ y  /  x ]_ (
(coe1 `  M ) `  K ) )
9594eqcomi 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  m  |->  [_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K
) )  =  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) )
9695oveq2i 6325 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R 
gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K ) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) )
9796oveq1i 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `
 K ) )  =  ( ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `
 K ) )
9893, 97syl6req 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  (
( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `
 K ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) )
9998adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  B
)  /\  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 K )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) )  ->  ( ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  [_ a  /  x ]_ M ) `
 K ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) )
10052, 99eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  B
)  /\  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 K )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) )  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) )
101100exp31 613 . . . . . . 7  |-  ( ( ( m  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  ->  ( A. x  e.  { a } M  e.  B  ->  ( ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 K )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) )  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) ) ) )
102101com23 81 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  B )  ->  (
( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) )  ->  ( A. x  e.  { a } M  e.  B  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) ) ) )
103102ex 440 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  ( A. x  e.  m  M  e.  B  ->  ( ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) )  ->  ( A. x  e.  { a } M  e.  B  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) ) ) ) )
104103a2d 29 . . . 4  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  (
( A. x  e.  m  M  e.  B  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  m  M  e.  B  ->  ( A. x  e.  { a } M  e.  B  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  M ) ) ) `
 K )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) ) ) ) )
105104imp4b 599 . . 3  |-  ( ( ( m  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  m  /\  ph )  /\  ( A. x  e.  m  M  e.  B  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) ) )  ->  (
( A. x  e.  m  M  e.  B  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  B )  ->  (
(coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  M ) ) ) `
 K )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) ) )
1061, 105syl5bi 225 . 2  |-  ( ( ( m  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  m  /\  ph )  /\  ( A. x  e.  m  M  e.  B  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  (
m  u.  { a } ) M  e.  B  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) ) )
107106ex 440 1  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  (
( A. x  e.  m  M  e.  B  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  K
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( (coe1 `  M ) `  K ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  ( m  u.  { a } ) M  e.  B  -> 
( (coe1 `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  M ) ) ) `
 K )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  ( (coe1 `  M ) `  K
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1454    e. wcel 1897   A.wral 2748   _Vcvv 3056   [_csb 3374    u. cun 3413   {csn 3979    |-> cmpt 4474   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   Fincfn 7594   NN0cn0 10897   Basecbs 15169   +g cplusg 15238    gsumg cgsu 15387  CMndccmn 17478   Ringcrg 17828  Poly1cpl1 18818  coe1cco1 18819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-iin 4294  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-ofr 6558  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-supp 6941  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-pm 7500  df-ixp 7548  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fsupp 7909  df-oi 8050  df-card 8398  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-7 10700  df-8 10701  df-9 10702  df-10 10703  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-seq 12245  df-hash 12547  df-struct 15171  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-mulr 15252  df-sca 15254  df-vsca 15255  df-tset 15257  df-ple 15258  df-0g 15388  df-gsum 15389  df-mre 15540  df-mrc 15541  df-acs 15543  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-mhm 16630  df-submnd 16631  df-grp 16721  df-minusg 16722  df-mulg 16724  df-subg 16862  df-ghm 16929  df-cntz 17019  df-cmn 17480  df-abl 17481  df-mgp 17772  df-ur 17784  df-ring 17830  df-subrg 18054  df-psr 18628  df-mpl 18630  df-opsr 18632  df-psr1 18821  df-ply1 18823  df-coe1 18824
This theorem is referenced by:  coe1fzgsumd  18944
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