Theorem coe1fzgsumdlem 18109

Description: Lemma for coe1fzgsumd 18110 (induction step). (Contributed by AV, 8-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1fzgsumd.p	|- P = (Poly1 ` R )
coe1fzgsumd.b	|- B = ( Base ` P )
coe1fzgsumd.r	|- ( ph -> R e. Ring )
coe1fzgsumd.k	|- ( ph -> K e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
coe1fzgsumdlem	|- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> ( ( A. x e. m M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) -> ( A. x e. ( m u. { a } ) M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, K   x, m   x, a

Allowed substitution hints:   ph( x, m, a)   B( m, a)   P( x, m, a)   R( x, m, a)   K( m, a)   M( x, m, a)

Proof of Theorem coe1fzgsumdlem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralunb 3680	. . 3 |- ( A. x e. ( m u. { a } ) M e. B <-> ( A. x e. m M e. B /\ A. x e. { a } M e. B ) )
2		nfcv 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ y M
3		nfcsb1v 3446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x [_ y / x ]_ M
4		csbeq1a 3439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> M = [_ y / x ]_ M )
5	2, 3, 4	cbvmpt 4532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) = ( y e. ( m u. { a } ) |-> [_ y / x ]_ M )
6	5	oveq2i 6288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) = ( P gsumg ( y e. ( m u. { a } ) |-> [_ y / x ]_ M ) )
7		coe1fzgsumd.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- B = ( Base ` P )
8		eqid 2462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( +g ` P ) = ( +g ` P )
9		coe1fzgsumd.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> R e. Ring )
10		coe1fzgsumd.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- P = (Poly1 ` R )
11	10	ply1rng 18055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
12	9, 11	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> P e. Ring )
13		rngcmn 17011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. Ring -> P e. CMnd )
14	12, 13	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> P e. CMnd )
15	14	3ad2ant3 1014	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> P e. CMnd )
16	15	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> P e. CMnd )
17		simpll1 1030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> m e. Fin )
18		rspcsbela 3848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. m /\ A. x e. m M e. B ) -> [_ y / x ]_ M e. B )
19	18	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. x e. m M e. B -> ( y e. m -> [_ y / x ]_ M e. B ) )
20	19	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) -> ( y e. m -> [_ y / x ]_ M e. B ) )
21	20	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( y e. m -> [_ y / x ]_ M e. B ) )
22	21	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) /\ y e. m ) -> [_ y / x ]_ M e. B )
23		vex 3111	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- a e. _V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> a e. _V )
25		simpll2 1031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> -. a e. m )
26		ssnid 4051	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- a e. { a }
27		rspcsbela 3848	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( a e. { a } /\ A. x e. { a } M e. B ) -> [_ a / x ]_ M e. B )
28	26, 27	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. x e. { a } M e. B -> [_ a / x ]_ M e. B )
29	28	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> [_ a / x ]_ M e. B )
30		csbeq1 3433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = a -> [_ y / x ]_ M = [_ a / x ]_ M )
31	7, 8, 16, 17, 22, 24, 25, 29, 30	gsumunsn 16772	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( P gsumg ( y e. ( m u. { a } ) |-> [_ y / x ]_ M ) ) = ( ( P gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) )
32	6, 31	syl5eq 2515	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) = ( ( P gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) )
33	2, 3, 4	cbvmpt 4532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. m |-> M ) = ( y e. m |-> [_ y / x ]_ M )
34	33	eqcomi 2475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. m |-> [_ y / x ]_ M ) = ( x e. m |-> M )
35	34	oveq2i 6288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ M ) ) = ( P gsumg ( x e. m |-> M ) )
36	35	oveq1i 6287	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) = ( ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M )
37	32, 36	syl6eq 2519	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) = ( ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) )
38	37	fveq2d 5863	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) = (coe1 ` ( ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) ) )
39	38	fveq1d 5861	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( (coe1 ` ( ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) ) ` K ) )
40	9	3ad2ant3 1014	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> R e. Ring )
41	40	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> R e. Ring )
42		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> A. x e. m M e. B )
43	7, 16, 17, 42	gsummptcl 16780	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) e. B )
44		coe1fzgsumd.k	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> K e. NN0 )
45	44	3ad2ant3 1014	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> K e. NN0 )
46	45	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> K e. NN0 )
47		eqid 2462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
48	10, 7, 8, 47	coe1addfv 18072	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) e. B /\ [_ a / x ]_ M e. B ) /\ K e. NN0 ) -> ( (coe1 ` ( ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) ) ` K ) = ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) )
49	41, 43, 29, 46, 48	syl31anc 1226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( (coe1 ` ( ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) ) ` K ) = ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) )
50	39, 49	eqtrd 2503	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) )
51		oveq1 6284	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) -> ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) = ( ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) )
52	50, 51	sylan9eq 2523	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) /\ ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) )
53		nfcv 2624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y ( (coe1 ` M ) ` K )
54		nfcsb1v 3446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K )
55		csbeq1a 3439	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( (coe1 ` M ) ` K ) = [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) )
56	53, 54, 55	cbvmpt 4532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) = ( y e. ( m u. { a } ) |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) )
57	56	oveq2i 6288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) = ( R gsumg ( y e. ( m u. { a } ) |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) ) )
58		eqid 2462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
59		rngcmn 17011	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
60	9, 59	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> R e. CMnd )
61	60	3ad2ant3 1014	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> R e. CMnd )
62	61	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> R e. CMnd )
63		csbfv12 5894	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) = ( [_ y / x ]_ (coe1 ` M ) ` [_ y / x ]_ K )
64		vex 3111	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- y e. _V
65		csbfv2g 5896	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. _V -> [_ y / x ]_ (coe1 ` M ) = (coe1 ` [_ y / x ]_ M ) )
66	64, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- [_ y / x ]_ (coe1 ` M ) = (coe1 ` [_ y / x ]_ M )
67		csbconstg 3443	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. _V -> [_ y / x ]_ K = K )
68	64, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- [_ y / x ]_ K = K
69	66, 68	fveq12i 5864	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [_ y / x ]_ (coe1 ` M ) ` [_ y / x ]_ K ) = ( (coe1 ` [_ y / x ]_ M ) ` K )
70	63, 69	eqtri 2491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) = ( (coe1 ` [_ y / x ]_ M ) ` K )
71		eqid 2462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (coe1 ` [_ y / x ]_ M ) = (coe1 ` [_ y / x ]_ M )
72	71, 7, 10, 58	coe1f 18016	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( [_ y / x ]_ M e. B -> (coe1 ` [_ y / x ]_ M ) : NN0 --> ( Base ` R ) )
73	22, 72	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) /\ y e. m ) -> (coe1 ` [_ y / x ]_ M ) : NN0 --> ( Base ` R ) )
74	45	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) -> K e. NN0 )
75	74	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) /\ y e. m ) -> K e. NN0 )
76	73, 75	ffvelrnd 6015	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) /\ y e. m ) -> ( (coe1 ` [_ y / x ]_ M ) ` K ) e. ( Base ` R ) )
77	70, 76	syl5eqel 2554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) /\ y e. m ) -> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) e. ( Base ` R ) )
78		eqid 2462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) = (coe1 ` [_ a / x ]_ M )
79	78, 7, 10, 58	coe1f 18016	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [_ a / x ]_ M e. B -> (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) : NN0 --> ( Base ` R ) )
80	29, 79	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) : NN0 --> ( Base ` R ) )
81	80, 46	ffvelrnd 6015	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) e. ( Base ` R ) )
82		nfcv 2624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x a
83		nfcv 2624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ xcoe1
84		nfcsb1v 3446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x [_ a / x ]_ M
85	83, 84	nffv 5866	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x (coe1 ` [_ a / x ]_ M )
86		nfcv 2624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x K
87	85, 86	nffv 5866	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K )
88		csbeq1a 3439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> M = [_ a / x ]_ M )
89	88	fveq2d 5863	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> (coe1 ` M ) = (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) )
90	89	fveq1d 5861	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = a -> ( (coe1 ` M ) ` K ) = ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) )
91	82, 87, 90	csbhypf 3449	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = a -> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) = ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) )
92	58, 47, 62, 17, 77, 24, 25, 81, 91	gsumunsn 16772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( R gsumg ( y e. ( m u. { a } ) |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) = ( ( R gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) )
93	57, 92	syl5eq 2515	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) = ( ( R gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) )
94	53, 54, 55	cbvmpt 4532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) = ( y e. m |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) )
95	94	eqcomi 2475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. m |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) ) = ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) )
96	95	oveq2i 6288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) )
97	96	oveq1i 6287	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) = ( ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) )
98	93, 97	syl6req 2520	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) )
99	98	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) /\ ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) -> ( ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) )
100	52, 99	eqtrd 2503	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) /\ ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) )
101	100	exp31 604	. . . . . . 7 |- ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) -> ( A. x e. { a } M e. B -> ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) )
102	101	com23 78	. . . . . 6 |- ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) -> ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) -> ( A. x e. { a } M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) )
103	102	ex 434	. . . . 5 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> ( A. x e. m M e. B -> ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) -> ( A. x e. { a } M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) ) )
104	103	a2d 26	. . . 4 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> ( ( A. x e. m M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) -> ( A. x e. m M e. B -> ( A. x e. { a } M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) ) )
105	104	imp4b 590	. . 3 |- ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ ( A. x e. m M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) -> ( ( A. x e. m M e. B /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) )
106	1, 105	syl5bi 217	. 2 |- ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ ( A. x e. m M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) -> ( A. x e. ( m u. { a } ) M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) )
107	106	ex 434	1 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> ( ( A. x e. m M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) -> ( A. x e. ( m u. { a } ) M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   e. wcel 1762   A.wral 2809   _Vcvv 3108   [_csb 3430   u. cun 3469   {csn 4022   |-> cmpt 4500   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Fincfn 7508   NN0cn0 10786   Basecbs 14481   +g cplusg 14546   gsum_g cgsu 14687  CMndccmn 16589   Ringcrg 16981  Poly₁cpl1 17982  coe₁cco1 17983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-ofr 6518  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-oi 7926  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-seq 12066  df-hash 12363  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-tset 14565  df-ple 14566  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-mhm 15772  df-submnd 15773  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-mulg 15856  df-subg 15988  df-ghm 16055  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-abl 16592  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-subrg 17205  df-psr 17771  df-mpl 17773  df-opsr 17775  df-psr1 17985  df-ply1 17987  df-coe1 17988

This theorem is referenced by:  coe1fzgsumd  18110