Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvexg 7005
 Description: The converse of a set is a set. Corollary 6.8(1) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 17-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
cnvexg (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem cnvexg
StepHypRef Expression
1 relcnv 5422 . . 3 Rel 𝐴
2 relssdmrn 5573 . . 3 (Rel 𝐴𝐴 ⊆ (dom 𝐴 × ran 𝐴))
31, 2ax-mp 5 . 2 𝐴 ⊆ (dom 𝐴 × ran 𝐴)
4 df-rn 5049 . . . 4 ran 𝐴 = dom 𝐴
5 rnexg 6990 . . . 4 (𝐴𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
64, 5syl5eqelr 2693 . . 3 (𝐴𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)
7 dfdm4 5238 . . . 4 dom 𝐴 = ran 𝐴
8 dmexg 6989 . . . 4 (𝐴𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)
97, 8syl5eqelr 2693 . . 3 (𝐴𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
10 xpexg 6858 . . 3 ((dom 𝐴 ∈ V ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (dom 𝐴 × ran 𝐴) ∈ V)
116, 9, 10syl2anc 691 . 2 (𝐴𝑉 → (dom 𝐴 × ran 𝐴) ∈ V)
12 ssexg 4732 . 2 ((𝐴 ⊆ (dom 𝐴 × ran 𝐴) ∧ (dom 𝐴 × ran 𝐴) ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
133, 11, 12sylancr 694 1 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   × cxp 5036  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039  Rel wrel 5043 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-dm 5048  df-rn 5049 This theorem is referenced by:  cnvex  7006  relcnvexb  7007  cofunex2g  7024  tposexg  7253  cnven  7918  fopwdom  7953  domssex2  8005  domssex  8006  cnvfi  8131  mapfienlem2  8194  wemapwe  8477  hasheqf1oi  13002  hasheqf1oiOLD  13003  brtrclfvcnv  13593  brcnvtrclfvcnv  13594  relexpcnv  13623  relexpnnrn  13633  relexpaddg  13641  imasle  16006  cnvps  17035  gsumvalx  17093  symginv  17645  tposmap  20082  metustel  22165  metustss  22166  metustfbas  22172  metuel2  22180  psmetutop  22182  restmetu  22185  itg2gt0  23333  nlfnval  28124  cnvct  28878  ffsrn  28892  eulerpartlemgs2  29769  orvcval  29846  coinfliprv  29871  lkrval  33393  pw2f1o2val  36624  lmhmlnmsplit  36675  cnvcnvintabd  36925  clrellem  36948  relexpaddss  37029  cnvtrclfv  37035  rntrclfvRP  37042  xpexb  37679  sge0f1o  39275  smfco  39687
 Copyright terms: Public domain W3C validator