Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnvtrclfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvtrclfv 37035
Description: The converse of the transitive closure is equal to the transitive closure of the converse relation. (Contributed by RP, 19-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
cnvtrclfv (𝑅𝑉(t+‘𝑅) = (t+‘𝑅))

Proof of Theorem cnvtrclfv
Dummy variables 𝑛 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3185 . 2 (𝑅𝑉𝑅 ∈ V)
2 nnnn0 11176 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
3 relexpcnv 13623 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑅 ∈ V) → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
42, 3sylan 487 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
54expcom 450 . . . . 5 (𝑅 ∈ V → (𝑛 ∈ ℕ → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛)))
65ralrimiv 2948 . . . 4 (𝑅 ∈ V → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
7 iuneq2 4473 . . . 4 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
86, 7syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ V → 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
9 oveq1 6556 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑅 → (𝑟𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
109iuneq2d 4483 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑅 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
11 dftrcl3 37031 . . . . . 6 t+ = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
12 nnex 10903 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
13 ovex 6577 . . . . . . 7 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
1412, 13iunex 7039 . . . . . 6 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
1510, 11, 14fvmpt 6191 . . . . 5 (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
1615cnveqd 5220 . . . 4 (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
17 cnviun 36961 . . . 4 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛)
1816, 17syl6eq 2660 . . 3 (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
19 cnvexg 7005 . . . 4 (𝑅 ∈ V → 𝑅 ∈ V)
20 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑅 → (𝑠𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
2120iuneq2d 4483 . . . . 5 (𝑠 = 𝑅 𝑛 ∈ ℕ (𝑠𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
22 dftrcl3 37031 . . . . 5 t+ = (𝑠 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑠𝑟𝑛))
23 ovex 6577 . . . . . 6 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
2412, 23iunex 7039 . . . . 5 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
2521, 22, 24fvmpt 6191 . . . 4 (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
2619, 25syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
278, 18, 263eqtr4d 2654 . 2 (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = (t+‘𝑅))
281, 27syl 17 1 (𝑅𝑉(t+‘𝑅) = (t+‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  Vcvv 3173   ciun 4455  ccnv 5037  cfv 5804  (class class class)co 6549  cn 10897  0cn0 11169  t+ctcl 13572  𝑟crelexp 13608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-trcl 13574  df-relexp 13609
This theorem is referenced by:  rntrclfvRP  37042
  Copyright terms: Public domain W3C validator