Theorem cnvexg 6730

Description: The converse of a set is a set. Corollary 6.8(1) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 17-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
cnvexg	|- ( A e. V -> `' A e. _V )

Proof of Theorem cnvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5374	. . 3 |- Rel `' A
2		relssdmrn 5528	. . 3 |- ( Rel `' A -> `' A C_ ( dom `' A X. ran `' A ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- `' A C_ ( dom `' A X. ran `' A )
4		df-rn 5010	. . . 4 |- ran A = dom `' A
5		rnexg 6716	. . . 4 |- ( A e. V -> ran A e. _V )
6	4, 5	syl5eqelr 2560	. . 3 |- ( A e. V -> dom `' A e. _V )
7		dfdm4 5195	. . . 4 |- dom A = ran `' A
8		dmexg 6715	. . . 4 |- ( A e. V -> dom A e. _V )
9	7, 8	syl5eqelr 2560	. . 3 |- ( A e. V -> ran `' A e. _V )
10		xpexg 6586	. . 3 |- ( ( dom `' A e. _V /\ ran `' A e. _V ) -> ( dom `' A X. ran `' A ) e. _V )
11	6, 9, 10	syl2anc 661	. 2 |- ( A e. V -> ( dom `' A X. ran `' A ) e. _V )
12		ssexg 4593	. 2 |- ( ( `' A C_ ( dom `' A X. ran `' A ) /\ ( dom `' A X. ran `' A ) e. _V ) -> `' A e. _V )
13	3, 11, 12	sylancr 663	1 |- ( A e. V -> `' A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1767   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   X. cxp 4997   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000   Rel wrel 5004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-dm 5009  df-rn 5010

This theorem is referenced by:  cnvex  6731  relcnvexb  6732  cofunex2g  6749  tposexg  6969  cnven  7591  fopwdom  7625  domssex2  7677  domssex  7678  cnvfi  7804  mapfienlem2  7865  cantnfclOLD  8116  cantnflem1OLD  8131  wemapwe  8139  wemapweOLD  8140  fin1a2lem7  8786  fpwwe  9024  hasheqf1oi  12392  imasle  14778  cnvps  15699  gsumvalx  15824  symginv  16232  tposmap  18754  metustelOLD  20817  metustel  20818  metustssOLD  20819  metustss  20820  metustfbasOLD  20831  metustfbas  20832  metuel2  20845  metutopOLD  20848  psmetutop  20849  restmetu  20853  itg2gt0  21930  nlfnval  26504  cnvct  27238  ffsrn  27252  eulerpartlemgs2  27987  orvcval  28064  coinfliprv  28089  relexpcnv  28559  relexprel  28560  pw2f1o2val  30613  lmhmlnmsplit  30665  xpexb  30969  lkrval  33903