MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hasheqf1oi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hasheqf1oi 13002
Description: The size of two sets is equal if there is a bijection mapping one of the sets onto the other. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Dec-2017.) (Revised by AV, 4-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
hasheqf1oi (𝐴𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝑓,𝑉

Proof of Theorem hasheqf1oi
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hasheqf1o 12999 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) = (#‘𝐵) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵))
21biimprd 237 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵)))
32a1d 25 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵))))
4 fiinfnf1o 13000 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
54pm2.21d 117 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵)))
65a1d 25 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵))))
7 fiinfnf1o 13000 . . . 4 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴)
8 19.41v 1901 . . . . . . 7 (∃𝑓(𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉))
9 f1orel 6053 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → Rel 𝑓)
109adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉) → Rel 𝑓)
11 f1ocnvb 6063 . . . . . . . . . . . 12 (Rel 𝑓 → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐵1-1-onto𝐴))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉) → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐵1-1-onto𝐴))
13 f1of 6050 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴𝐵)
14 fex 6394 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴𝐵𝐴𝑉) → 𝑓 ∈ V)
1513, 14sylan 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉) → 𝑓 ∈ V)
16 cnvexg 7005 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ V → 𝑓 ∈ V)
17 f1oeq1 6040 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = 𝑓 → (𝑔:𝐵1-1-onto𝐴𝑓:𝐵1-1-onto𝐴))
1817spcegv 3267 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ V → (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴))
1915, 16, 183syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉) → (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴))
20 pm2.24 120 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵)))
2119, 20syl6 34 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉) → (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵))))
2212, 21sylbid 229 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉) → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵))))
2322com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉) → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵))))
2423anabsi5 854 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉) → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵)))
2524exlimiv 1845 . . . . . . 7 (∃𝑓(𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉) → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵)))
268, 25sylbir 224 . . . . . 6 ((∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉) → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵)))
2726ex 449 . . . . 5 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐴𝑉 → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵))))
2827com13 86 . . . 4 (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝐴𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵))))
297, 28syl 17 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵))))
3029ancoms 468 . 2 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵))))
31 hashinf 12984 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (#‘𝐴) = +∞)
3231expcom 450 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝑉 → (#‘𝐴) = +∞))
3332adantr 480 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝑉 → (#‘𝐴) = +∞))
3433imp 444 . . . . . . 7 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴𝑉) → (#‘𝐴) = +∞)
3534adantr 480 . . . . . 6 ((((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → (#‘𝐴) = +∞)
36 simpr 476 . . . . . . . 8 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴𝑉) → 𝐴𝑉)
37 f1ofo 6057 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴onto𝐵)
38 focdmex 13001 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ∈ V)
3936, 37, 38syl2an 493 . . . . . . 7 ((((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐵 ∈ V)
40 hashinf 12984 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐵) = +∞)
4140expcom 450 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ∈ V → (#‘𝐵) = +∞))
4241ad3antlr 763 . . . . . . 7 ((((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝐵 ∈ V → (#‘𝐵) = +∞))
4339, 42mpd 15 . . . . . 6 ((((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → (#‘𝐵) = +∞)
4435, 43eqtr4d 2647 . . . . 5 ((((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → (#‘𝐴) = (#‘𝐵))
4544ex 449 . . . 4 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴𝑉) → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵)))
4645exlimdv 1848 . . 3 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴𝑉) → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵)))
4746ex 449 . 2 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵))))
483, 6, 30, 474cases 987 1 (𝐴𝑉 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wex 1695  wcel 1977  Vcvv 3173  ccnv 5037  Rel wrel 5043  wf 5800  ontowfo 5802  1-1-ontowf1o 5803  cfv 5804  Fincfn 7841  +∞cpnf 9950  #chash 12979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-hash 12980
This theorem is referenced by:  hashf1rn  13004  hasheqf1od  13006  2lgslem1  24919  wwlkexthasheq  26262  rusgranumwwlkl1  26473  rusgranumwlklem4  26479  rusgranumwwlkg  26486  frgrancvvdgeq  26570  numclwwlk1  26625  numclwwlkqhash  26627  bj-finsumval0  32324  nbedgusgr  40600  rusgrnumwrdl2  40786  wwlksnexthasheq  41109  rusgrnumwlkg  41180  av-numclwwlk1  41528  av-numclwwlkqhash  41530
  Copyright terms: Public domain W3C validator