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Theorem hasheqf1oi 12121
Description: The size of two sets is equal if there is a bijection mapping one of the sets onto the other. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hasheqf1oi  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) )
Distinct variable groups:    A, f    B, f    f, V    f, W

Proof of Theorem hasheqf1oi
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hasheqf1o 12119 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  =  ( # `  B )  <->  E. f 
f : A -1-1-onto-> B ) )
21biimprd 223 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) )
32a1d 25 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
4 fiinfnf1o 12120 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  -.  E. f 
f : A -1-1-onto-> B )
54pm2.21d 106 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( E. f 
f : A -1-1-onto-> B  -> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) )
65a1d 25 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
7 fiinfnf1o 12120 . . . 4  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  E. g 
g : B -1-1-onto-> A )
8 19.41v 1920 . . . . . . 7  |-  ( E. f ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W ) )  <->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) ) )
9 f1orel 5643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  Rel  f )
109adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  Rel  f )
11 f1ocnvb 5653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Rel  f  ->  ( f : A -1-1-onto-> B  <->  `' f : B -1-1-onto-> A
) )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  (
f : A -1-1-onto-> B  <->  `' f : B -1-1-onto-> A ) )
13 f1of 5640 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f : A
--> B )
1413adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  f : A --> B )
15 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  A  e.  V )
16 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  B  e.  W )
17 fex2 6531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A --> B  /\  A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  f  e.  _V )
1814, 15, 16, 17syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  f  e.  _V )
19 cnvexg 6523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  _V  ->  `' f  e.  _V )
20 f1oeq1 5631 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  `' f  -> 
( g : B -1-1-onto-> A  <->  `' f : B -1-1-onto-> A ) )
2120spcegv 3057 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' f  e.  _V  ->  ( `' f : B -1-1-onto-> A  ->  E. g  g : B -1-1-onto-> A ) )
2218, 19, 213syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  ( `' f : B -1-1-onto-> A  ->  E. g  g : B -1-1-onto-> A ) )
23 pm2.24 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. g  g : B -1-1-onto-> A  ->  ( -.  E. g 
g : B -1-1-onto-> A  -> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) )
2422, 23syl6 33 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  ( `' f : B -1-1-onto-> A  ->  ( -.  E. g 
g : B -1-1-onto-> A  -> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) ) )
2512, 24sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  (
f : A -1-1-onto-> B  -> 
( -.  E. g 
g : B -1-1-onto-> A  -> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) ) )
2625com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  ( (
f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  ( -.  E. g  g : B -1-1-onto-> A  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
2726anabsi5 813 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  ( -.  E. g  g : B -1-1-onto-> A  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) )
2827exlimiv 1688 . . . . . . 7  |-  ( E. f ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W ) )  -> 
( -.  E. g 
g : B -1-1-onto-> A  -> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) )
298, 28sylbir 213 . . . . . 6  |-  ( ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W ) )  -> 
( -.  E. g 
g : B -1-1-onto-> A  -> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) )
3029ex 434 . . . . 5  |-  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( -.  E. g  g : B -1-1-onto-> A  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
3130com13 80 . . . 4  |-  ( -. 
E. g  g : B -1-1-onto-> A  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
327, 31syl 16 . . 3  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
3332ancoms 453 . 2  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
34 hashinf 12107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  = +oo )
3534expcom 435 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( A  e.  V  -> 
( # `  A )  = +oo ) )
3635adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  Fin )  ->  ( A  e.  V  ->  ( # `  A
)  = +oo )
)
3736com12 31 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
( -.  A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 A )  = +oo ) )
3837adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 A )  = +oo ) )
3938impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W )
)  ->  ( # `  A
)  = +oo )
40 hashinf 12107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  W  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  = +oo )
4140expcom 435 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  B  e.  Fin  ->  ( B  e.  W  -> 
( # `  B )  = +oo ) )
4241adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  Fin )  ->  ( B  e.  W  ->  ( # `  B
)  = +oo )
)
4342com12 31 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  W  ->  (
( -.  A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 B )  = +oo ) )
4443adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 B )  = +oo ) )
4544impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W )
)  ->  ( # `  B
)  = +oo )
4639, 45eqtr4d 2477 . . . 4  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W )
)  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) )
4746a1d 25 . . 3  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W )
)  ->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) )
4847ex 434 . 2  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  Fin )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
493, 6, 33, 484cases 940 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   _Vcvv 2971   `'ccnv 4838   Rel wrel 4844   -->wf 5413   -1-1-onto->wf1o 5416   ` cfv 5417   Fincfn 7309   +oocpnf 9414   #chash 12102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-card 8108  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-hash 12103
This theorem is referenced by:  hashf1rn  12122  wwlkexthasheq  30364  clwlksizeeq  30523  rusgranumwlkl1lem1  30556  rusgranumwlklem4  30568  rusgranumwwlkg  30575  frgrancvvdgeq  30634  numclwwlk1  30689  numclwwlkqhash  30691  numclwwlk2lem3  30697  bj-finsumval0  32581
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