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Theorem hasheqf1oi 12572
Description: The size of two sets is equal if there is a bijection mapping one of the sets onto the other. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hasheqf1oi  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) )
Distinct variable groups:    A, f    B, f    f, V    f, W

Proof of Theorem hasheqf1oi
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hasheqf1o 12570 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  =  ( # `  B )  <->  E. f 
f : A -1-1-onto-> B ) )
21biimprd 231 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) )
32a1d 25 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
4 fiinfnf1o 12571 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  -.  E. f 
f : A -1-1-onto-> B )
54pm2.21d 109 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( E. f 
f : A -1-1-onto-> B  -> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) )
65a1d 25 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
7 fiinfnf1o 12571 . . . 4  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  E. g 
g : B -1-1-onto-> A )
8 19.41v 1838 . . . . . . 7  |-  ( E. f ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W ) )  <->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) ) )
9 f1orel 5831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  Rel  f )
109adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  Rel  f )
11 f1ocnvb 5841 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Rel  f  ->  ( f : A -1-1-onto-> B  <->  `' f : B -1-1-onto-> A
) )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  (
f : A -1-1-onto-> B  <->  `' f : B -1-1-onto-> A ) )
13 f1of 5828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f : A
--> B )
1413adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  f : A --> B )
15 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  A  e.  V )
16 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  B  e.  W )
17 fex2 6767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A --> B  /\  A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  f  e.  _V )
1814, 15, 16, 17syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  f  e.  _V )
19 cnvexg 6758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  _V  ->  `' f  e.  _V )
20 f1oeq1 5818 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  `' f  -> 
( g : B -1-1-onto-> A  <->  `' f : B -1-1-onto-> A ) )
2120spcegv 3121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' f  e.  _V  ->  ( `' f : B -1-1-onto-> A  ->  E. g  g : B -1-1-onto-> A ) )
2218, 19, 213syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  ( `' f : B -1-1-onto-> A  ->  E. g  g : B -1-1-onto-> A ) )
23 pm2.24 112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. g  g : B -1-1-onto-> A  ->  ( -.  E. g 
g : B -1-1-onto-> A  -> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) )
2422, 23syl6 33 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  ( `' f : B -1-1-onto-> A  ->  ( -.  E. g 
g : B -1-1-onto-> A  -> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) ) )
2512, 24sylbid 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  (
f : A -1-1-onto-> B  -> 
( -.  E. g 
g : B -1-1-onto-> A  -> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) ) )
2625com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  ( (
f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  ( -.  E. g  g : B -1-1-onto-> A  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
2726anabsi5 833 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  ( -.  E. g  g : B -1-1-onto-> A  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) )
2827exlimiv 1784 . . . . . . 7  |-  ( E. f ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W ) )  -> 
( -.  E. g 
g : B -1-1-onto-> A  -> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) )
298, 28sylbir 218 . . . . . 6  |-  ( ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W ) )  -> 
( -.  E. g 
g : B -1-1-onto-> A  -> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) )
3029ex 441 . . . . 5  |-  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( -.  E. g  g : B -1-1-onto-> A  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
3130com13 82 . . . 4  |-  ( -. 
E. g  g : B -1-1-onto-> A  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
327, 31syl 17 . . 3  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
3332ancoms 460 . 2  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
34 hashinf 12558 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  = +oo )
3534expcom 442 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( A  e.  V  -> 
( # `  A )  = +oo ) )
3635adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  Fin )  ->  ( A  e.  V  ->  ( # `  A
)  = +oo )
)
3736com12 31 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
( -.  A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 A )  = +oo ) )
3837adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 A )  = +oo ) )
3938impcom 437 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W )
)  ->  ( # `  A
)  = +oo )
40 hashinf 12558 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  W  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  = +oo )
4140expcom 442 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  B  e.  Fin  ->  ( B  e.  W  -> 
( # `  B )  = +oo ) )
4241adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  Fin )  ->  ( B  e.  W  ->  ( # `  B
)  = +oo )
)
4342com12 31 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  W  ->  (
( -.  A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 B )  = +oo ) )
4443adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 B )  = +oo ) )
4544impcom 437 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W )
)  ->  ( # `  B
)  = +oo )
4639, 45eqtr4d 2508 . . . 4  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W )
)  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) )
4746a1d 25 . . 3  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W )
)  ->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) )
4847ex 441 . 2  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  Fin )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
493, 6, 33, 484cases 964 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   _Vcvv 3031   `'ccnv 4838   Rel wrel 4844   -->wf 5585   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589   Fincfn 7587   +oocpnf 9690   #chash 12553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-hash 12554
This theorem is referenced by:  hashf1rn  12573  wwlkexthasheq  25541  clwlksizeeq  25659  rusgranumwwlkl1  25753  rusgranumwlklem4  25759  rusgranumwwlkg  25766  frgrancvvdgeq  25850  numclwwlk1  25905  numclwwlkqhash  25907  numclwwlk2lem3  25913  bj-finsumval0  31772  usgredgaleordALT  39475  nbedgusgr  39610  vtxdushgrfvedglem  39712  vtxdushgrfvedg  39713  hashnbusgrvd  39751
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