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Theorem hasheqf1oi 12381
Description: The size of two sets is equal if there is a bijection mapping one of the sets onto the other. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hasheqf1oi  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) )
Distinct variable groups:    A, f    B, f    f, V    f, W

Proof of Theorem hasheqf1oi
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hasheqf1o 12379 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  =  ( # `  B )  <->  E. f 
f : A -1-1-onto-> B ) )
21biimprd 223 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) )
32a1d 25 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
4 fiinfnf1o 12380 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  -.  E. f 
f : A -1-1-onto-> B )
54pm2.21d 106 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( E. f 
f : A -1-1-onto-> B  -> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) )
65a1d 25 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
7 fiinfnf1o 12380 . . . 4  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  E. g 
g : B -1-1-onto-> A )
8 19.41v 1940 . . . . . . 7  |-  ( E. f ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W ) )  <->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) ) )
9 f1orel 5812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  Rel  f )
109adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  Rel  f )
11 f1ocnvb 5822 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Rel  f  ->  ( f : A -1-1-onto-> B  <->  `' f : B -1-1-onto-> A
) )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  (
f : A -1-1-onto-> B  <->  `' f : B -1-1-onto-> A ) )
13 f1of 5809 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f : A
--> B )
1413adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  f : A --> B )
15 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  A  e.  V )
16 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  B  e.  W )
17 fex2 6731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A --> B  /\  A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  f  e.  _V )
1814, 15, 16, 17syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  f  e.  _V )
19 cnvexg 6722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  _V  ->  `' f  e.  _V )
20 f1oeq1 5800 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  `' f  -> 
( g : B -1-1-onto-> A  <->  `' f : B -1-1-onto-> A ) )
2120spcegv 3194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' f  e.  _V  ->  ( `' f : B -1-1-onto-> A  ->  E. g  g : B -1-1-onto-> A ) )
2218, 19, 213syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  ( `' f : B -1-1-onto-> A  ->  E. g  g : B -1-1-onto-> A ) )
23 pm2.24 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. g  g : B -1-1-onto-> A  ->  ( -.  E. g 
g : B -1-1-onto-> A  -> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) )
2422, 23syl6 33 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  ( `' f : B -1-1-onto-> A  ->  ( -.  E. g 
g : B -1-1-onto-> A  -> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) ) )
2512, 24sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  (
f : A -1-1-onto-> B  -> 
( -.  E. g 
g : B -1-1-onto-> A  -> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) ) )
2625com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  ( (
f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  ( -.  E. g  g : B -1-1-onto-> A  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
2726anabsi5 814 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  ( -.  E. g  g : B -1-1-onto-> A  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) )
2827exlimiv 1693 . . . . . . 7  |-  ( E. f ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W ) )  -> 
( -.  E. g 
g : B -1-1-onto-> A  -> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) )
298, 28sylbir 213 . . . . . 6  |-  ( ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W ) )  -> 
( -.  E. g 
g : B -1-1-onto-> A  -> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) )
3029ex 434 . . . . 5  |-  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( -.  E. g  g : B -1-1-onto-> A  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
3130com13 80 . . . 4  |-  ( -. 
E. g  g : B -1-1-onto-> A  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
327, 31syl 16 . . 3  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
3332ancoms 453 . 2  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
34 hashinf 12367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  = +oo )
3534expcom 435 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( A  e.  V  -> 
( # `  A )  = +oo ) )
3635adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  Fin )  ->  ( A  e.  V  ->  ( # `  A
)  = +oo )
)
3736com12 31 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
( -.  A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 A )  = +oo ) )
3837adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 A )  = +oo ) )
3938impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W )
)  ->  ( # `  A
)  = +oo )
40 hashinf 12367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  W  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  = +oo )
4140expcom 435 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  B  e.  Fin  ->  ( B  e.  W  -> 
( # `  B )  = +oo ) )
4241adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  Fin )  ->  ( B  e.  W  ->  ( # `  B
)  = +oo )
)
4342com12 31 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  W  ->  (
( -.  A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 B )  = +oo ) )
4443adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 B )  = +oo ) )
4544impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W )
)  ->  ( # `  B
)  = +oo )
4639, 45eqtr4d 2506 . . . 4  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W )
)  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) )
4746a1d 25 . . 3  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W )
)  ->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) )
4847ex 434 . 2  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  Fin )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
493, 6, 33, 484cases 942 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762   _Vcvv 3108   `'ccnv 4993   Rel wrel 4999   -->wf 5577   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581   Fincfn 7508   +oocpnf 9616   #chash 12362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-hash 12363
This theorem is referenced by:  hashf1rn  12382  wwlkexthasheq  24398  clwlksizeeq  24516  rusgranumwwlkl1  24610  rusgranumwlklem4  24616  rusgranumwwlkg  24623  frgrancvvdgeq  24708  numclwwlk1  24763  numclwwlkqhash  24765  numclwwlk2lem3  24771  bj-finsumval0  33612
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