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Theorem hasheqf1oi 12406
Description: The size of two sets is equal if there is a bijection mapping one of the sets onto the other. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hasheqf1oi  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) )
Distinct variable groups:    A, f    B, f    f, V    f, W

Proof of Theorem hasheqf1oi
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hasheqf1o 12404 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  =  ( # `  B )  <->  E. f 
f : A -1-1-onto-> B ) )
21biimprd 223 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) )
32a1d 25 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
4 fiinfnf1o 12405 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  -.  E. f 
f : A -1-1-onto-> B )
54pm2.21d 106 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( E. f 
f : A -1-1-onto-> B  -> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) )
65a1d 25 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
7 fiinfnf1o 12405 . . . 4  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  E. g 
g : B -1-1-onto-> A )
8 19.41v 1757 . . . . . . 7  |-  ( E. f ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W ) )  <->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) ) )
9 f1orel 5809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  Rel  f )
109adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  Rel  f )
11 f1ocnvb 5819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Rel  f  ->  ( f : A -1-1-onto-> B  <->  `' f : B -1-1-onto-> A
) )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  (
f : A -1-1-onto-> B  <->  `' f : B -1-1-onto-> A ) )
13 f1of 5806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f : A
--> B )
1413adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  f : A --> B )
15 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  A  e.  V )
16 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  B  e.  W )
17 fex2 6740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A --> B  /\  A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  f  e.  _V )
1814, 15, 16, 17syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  f  e.  _V )
19 cnvexg 6731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  _V  ->  `' f  e.  _V )
20 f1oeq1 5797 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  `' f  -> 
( g : B -1-1-onto-> A  <->  `' f : B -1-1-onto-> A ) )
2120spcegv 3181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' f  e.  _V  ->  ( `' f : B -1-1-onto-> A  ->  E. g  g : B -1-1-onto-> A ) )
2218, 19, 213syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  ( `' f : B -1-1-onto-> A  ->  E. g  g : B -1-1-onto-> A ) )
23 pm2.24 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. g  g : B -1-1-onto-> A  ->  ( -.  E. g 
g : B -1-1-onto-> A  -> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) )
2422, 23syl6 33 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  ( `' f : B -1-1-onto-> A  ->  ( -.  E. g 
g : B -1-1-onto-> A  -> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) ) )
2512, 24sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  (
f : A -1-1-onto-> B  -> 
( -.  E. g 
g : B -1-1-onto-> A  -> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) ) )
2625com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  ( (
f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  ( -.  E. g  g : B -1-1-onto-> A  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
2726anabsi5 817 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  ( -.  E. g  g : B -1-1-onto-> A  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) )
2827exlimiv 1709 . . . . . . 7  |-  ( E. f ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W ) )  -> 
( -.  E. g 
g : B -1-1-onto-> A  -> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) )
298, 28sylbir 213 . . . . . 6  |-  ( ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W ) )  -> 
( -.  E. g 
g : B -1-1-onto-> A  -> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) )
3029ex 434 . . . . 5  |-  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( -.  E. g  g : B -1-1-onto-> A  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
3130com13 80 . . . 4  |-  ( -. 
E. g  g : B -1-1-onto-> A  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
327, 31syl 16 . . 3  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
3332ancoms 453 . 2  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
34 hashinf 12392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  = +oo )
3534expcom 435 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( A  e.  V  -> 
( # `  A )  = +oo ) )
3635adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  Fin )  ->  ( A  e.  V  ->  ( # `  A
)  = +oo )
)
3736com12 31 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
( -.  A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 A )  = +oo ) )
3837adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 A )  = +oo ) )
3938impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W )
)  ->  ( # `  A
)  = +oo )
40 hashinf 12392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  W  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  = +oo )
4140expcom 435 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  B  e.  Fin  ->  ( B  e.  W  -> 
( # `  B )  = +oo ) )
4241adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  Fin )  ->  ( B  e.  W  ->  ( # `  B
)  = +oo )
)
4342com12 31 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  W  ->  (
( -.  A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 B )  = +oo ) )
4443adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 B )  = +oo ) )
4544impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W )
)  ->  ( # `  B
)  = +oo )
4639, 45eqtr4d 2487 . . . 4  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W )
)  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) )
4746a1d 25 . . 3  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W )
)  ->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) )
4847ex 434 . 2  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  Fin )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
493, 6, 33, 484cases 949 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383   E.wex 1599    e. wcel 1804   _Vcvv 3095   `'ccnv 4988   Rel wrel 4994   -->wf 5574   -1-1-onto->wf1o 5577   ` cfv 5578   Fincfn 7518   +oocpnf 9628   #chash 12387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-hash 12388
This theorem is referenced by:  hashf1rn  12407  wwlkexthasheq  24712  clwlksizeeq  24830  rusgranumwwlkl1  24924  rusgranumwlklem4  24930  rusgranumwwlkg  24937  frgrancvvdgeq  25021  numclwwlk1  25076  numclwwlkqhash  25078  numclwwlk2lem3  25084  bj-finsumval0  34538
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