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Theorem hasheqf1oi 12469
Description: The size of two sets is equal if there is a bijection mapping one of the sets onto the other. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hasheqf1oi  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) )
Distinct variable groups:    A, f    B, f    f, V    f, W

Proof of Theorem hasheqf1oi
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hasheqf1o 12467 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  =  ( # `  B )  <->  E. f 
f : A -1-1-onto-> B ) )
21biimprd 223 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) )
32a1d 25 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
4 fiinfnf1o 12468 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  -.  E. f 
f : A -1-1-onto-> B )
54pm2.21d 106 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( E. f 
f : A -1-1-onto-> B  -> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) )
65a1d 25 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
7 fiinfnf1o 12468 . . . 4  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  E. g 
g : B -1-1-onto-> A )
8 19.41v 1795 . . . . . . 7  |-  ( E. f ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W ) )  <->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) ) )
9 f1orel 5801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  Rel  f )
109adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  Rel  f )
11 f1ocnvb 5811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Rel  f  ->  ( f : A -1-1-onto-> B  <->  `' f : B -1-1-onto-> A
) )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  (
f : A -1-1-onto-> B  <->  `' f : B -1-1-onto-> A ) )
13 f1of 5798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f : A
--> B )
1413adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  f : A --> B )
15 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  A  e.  V )
16 simprr 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  B  e.  W )
17 fex2 6738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A --> B  /\  A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  f  e.  _V )
1814, 15, 16, 17syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  f  e.  _V )
19 cnvexg 6729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  _V  ->  `' f  e.  _V )
20 f1oeq1 5789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  `' f  -> 
( g : B -1-1-onto-> A  <->  `' f : B -1-1-onto-> A ) )
2120spcegv 3144 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' f  e.  _V  ->  ( `' f : B -1-1-onto-> A  ->  E. g  g : B -1-1-onto-> A ) )
2218, 19, 213syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  ( `' f : B -1-1-onto-> A  ->  E. g  g : B -1-1-onto-> A ) )
23 pm2.24 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. g  g : B -1-1-onto-> A  ->  ( -.  E. g 
g : B -1-1-onto-> A  -> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) )
2422, 23syl6 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  ( `' f : B -1-1-onto-> A  ->  ( -.  E. g 
g : B -1-1-onto-> A  -> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) ) )
2512, 24sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  (
f : A -1-1-onto-> B  -> 
( -.  E. g 
g : B -1-1-onto-> A  -> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) ) )
2625com12 29 . . . . . . . . 9  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  ( (
f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  ( -.  E. g  g : B -1-1-onto-> A  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
2726anabsi5 818 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  ( -.  E. g  g : B -1-1-onto-> A  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) )
2827exlimiv 1743 . . . . . . 7  |-  ( E. f ( f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W ) )  -> 
( -.  E. g 
g : B -1-1-onto-> A  -> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) )
298, 28sylbir 213 . . . . . 6  |-  ( ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W ) )  -> 
( -.  E. g 
g : B -1-1-onto-> A  -> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) )
3029ex 432 . . . . 5  |-  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( -.  E. g  g : B -1-1-onto-> A  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
3130com13 80 . . . 4  |-  ( -. 
E. g  g : B -1-1-onto-> A  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
327, 31syl 17 . . 3  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
3332ancoms 451 . 2  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
34 hashinf 12455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  = +oo )
3534expcom 433 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( A  e.  V  -> 
( # `  A )  = +oo ) )
3635adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  Fin )  ->  ( A  e.  V  ->  ( # `  A
)  = +oo )
)
3736com12 29 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
( -.  A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 A )  = +oo ) )
3837adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 A )  = +oo ) )
3938impcom 428 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W )
)  ->  ( # `  A
)  = +oo )
40 hashinf 12455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  W  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  = +oo )
4140expcom 433 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  B  e.  Fin  ->  ( B  e.  W  -> 
( # `  B )  = +oo ) )
4241adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  Fin )  ->  ( B  e.  W  ->  ( # `  B
)  = +oo )
)
4342com12 29 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  W  ->  (
( -.  A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 B )  = +oo ) )
4443adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 B )  = +oo ) )
4544impcom 428 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W )
)  ->  ( # `  B
)  = +oo )
4639, 45eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W )
)  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) )
4746a1d 25 . . 3  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W )
)  ->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) )
4847ex 432 . 2  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  Fin )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) ) )
493, 6, 33, 484cases 950 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842   _Vcvv 3058   `'ccnv 4821   Rel wrel 4827   -->wf 5564   -1-1-onto->wf1o 5567   ` cfv 5568   Fincfn 7553   +oocpnf 9654   #chash 12450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-hash 12451
This theorem is referenced by:  hashf1rn  12470  wwlkexthasheq  25138  clwlksizeeq  25256  rusgranumwwlkl1  25350  rusgranumwlklem4  25356  rusgranumwwlkg  25363  frgrancvvdgeq  25447  numclwwlk1  25502  numclwwlkqhash  25504  numclwwlk2lem3  25510  bj-finsumval0  31214
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