Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnvcnvintabd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvcnvintabd 36925
 Description: Value of the relationship content of the intersection of a class. (Contributed by RP, 20-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
cnvcnvintabd.x (𝜑 → ∃𝑥𝜓)
Assertion
Ref Expression
cnvcnvintabd (𝜑 {𝑥𝜓} = {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = 𝑥𝜓)})
Distinct variable groups:   𝜓,𝑤   𝑥,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem cnvcnvintabd
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvcnv 5505 . . . . . . . . . 10 𝑥 = (𝑥 ∩ (V × V))
21eleq2i 2680 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑥𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (V × V)))
3 elin 3758 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (V × V)) ↔ (𝑦𝑥𝑦 ∈ (V × V)))
43rbaib 945 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (V × V) → (𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (V × V)) ↔ 𝑦𝑥))
52, 4syl5bb 271 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (V × V) → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
65bicomd 212 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (V × V) → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
76imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (V × V) → ((𝜓𝑦𝑥) ↔ (𝜓𝑦𝑥)))
87albidv 1836 . . . . 5 (𝑦 ∈ (V × V) → (∀𝑥(𝜓𝑦𝑥) ↔ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥)))
98pm5.32i 667 . . . 4 ((𝑦 ∈ (V × V) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥)) ↔ (𝑦 ∈ (V × V) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥)))
10 cnvcnvintabd.x . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑥𝜓)
11 pm5.5 350 . . . . . . 7 (∃𝑥𝜓 → ((∃𝑥𝜓𝑦 ∈ (V × V)) ↔ 𝑦 ∈ (V × V)))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((∃𝑥𝜓𝑦 ∈ (V × V)) ↔ 𝑦 ∈ (V × V)))
1312bicomd 212 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (V × V) ↔ (∃𝑥𝜓𝑦 ∈ (V × V))))
1413anbi1d 737 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (V × V) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥)) ↔ ((∃𝑥𝜓𝑦 ∈ (V × V)) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥))))
159, 14syl5bb 271 . . 3 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (V × V) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥)) ↔ ((∃𝑥𝜓𝑦 ∈ (V × V)) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥))))
16 elcnvcnvintab 36907 . . 3 (𝑦 {𝑥𝜓} ↔ (𝑦 ∈ (V × V) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥)))
17 vex 3176 . . . 4 𝑦 ∈ V
18 vex 3176 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
19 cnvexg 7005 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → 𝑥 ∈ V)
20 cnvexg 7005 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → 𝑥 ∈ V)
2118, 19, 20mp2b 10 . . . . 5 𝑥 ∈ V
22 relcnv 5422 . . . . . 6 Rel 𝑥
23 df-rel 5045 . . . . . 6 (Rel 𝑥𝑥 ⊆ (V × V))
2422, 23mpbi 219 . . . . 5 𝑥 ⊆ (V × V)
2521, 24elmapintrab 36901 . . . 4 (𝑦 ∈ V → (𝑦 {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = 𝑥𝜓)} ↔ ((∃𝑥𝜓𝑦 ∈ (V × V)) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥))))
2617, 25ax-mp 5 . . 3 (𝑦 {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = 𝑥𝜓)} ↔ ((∃𝑥𝜓𝑦 ∈ (V × V)) ∧ ∀𝑥(𝜓𝑦𝑥)))
2715, 16, 263bitr4g 302 . 2 (𝜑 → (𝑦 {𝑥𝜓} ↔ 𝑦 {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = 𝑥𝜓)}))
2827eqrdv 2608 1 (𝜑 {𝑥𝜓} = {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = 𝑥𝜓)})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383  ∀wal 1473   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  {cab 2596  {crab 2900  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  ∩ cint 4410   × cxp 5036  ◡ccnv 5037  Rel wrel 5043 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-dm 5048  df-rn 5049 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator