Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cayley Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cayley 17657
 Description: Cayley's Theorem (constructive version): given group 𝐺, 𝐹 is an isomorphism between 𝐺 and the subgroup 𝑆 of the symmetric group 𝐻 on the underlying set 𝑋 of 𝐺. See also Theorem 3.15 in [Rotman] p. 42. (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cayley.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
cayley.h 𝐻 = (SymGrp‘𝑋)
cayley.p + = (+g𝐺)
cayley.f 𝐹 = (𝑔𝑋 ↦ (𝑎𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
cayley.s 𝑆 = ran 𝐹
Assertion
Ref Expression
cayley (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻) ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻s 𝑆)) ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑆))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑎,𝐺   𝑔,𝐻   + ,𝑎,𝑔   𝑋,𝑎,𝑔
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑔,𝑎)   𝐹(𝑔,𝑎)   𝐻(𝑎)

Proof of Theorem cayley
StepHypRef Expression
1 cayley.s . . 3 𝑆 = ran 𝐹
2 cayley.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 cayley.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
4 eqid 2610 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
5 cayley.h . . . . 5 𝐻 = (SymGrp‘𝑋)
6 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
7 cayley.f . . . . 5 𝐹 = (𝑔𝑋 ↦ (𝑎𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
82, 3, 4, 5, 6, 7cayleylem1 17655 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
9 ghmrn 17496 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐻))
108, 9syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐻))
111, 10syl5eqel 2692 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻))
121eqimss2i 3623 . . . 4 ran 𝐹𝑆
13 eqid 2610 . . . . 5 (𝐻s 𝑆) = (𝐻s 𝑆)
1413resghm2b 17501 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻) ∧ ran 𝐹𝑆) → (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ↔ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻s 𝑆))))
1511, 12, 14sylancl 693 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ↔ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻s 𝑆))))
168, 15mpbid 221 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻s 𝑆)))
172, 3, 4, 5, 6, 7cayleylem2 17656 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:𝑋1-1→(Base‘𝐻))
18 f1f1orn 6061 . . . 4 (𝐹:𝑋1-1→(Base‘𝐻) → 𝐹:𝑋1-1-onto→ran 𝐹)
1917, 18syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:𝑋1-1-onto→ran 𝐹)
20 f1oeq3 6042 . . . 4 (𝑆 = ran 𝐹 → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑆𝐹:𝑋1-1-onto→ran 𝐹))
211, 20ax-mp 5 . . 3 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑆𝐹:𝑋1-1-onto→ran 𝐹)
2219, 21sylibr 223 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑆)
2311, 16, 223jca 1235 1 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻) ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻s 𝑆)) ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039  –1-1→wf1 5801  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  SubGrpcsubg 17411   GrpHom cghm 17480  SymGrpcsymg 17620 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-tset 15787  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-ga 17546  df-symg 17621 This theorem is referenced by:  cayleyth  17658
 Copyright terms: Public domain W3C validator