MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cayleylem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cayleylem2 17656
Description: Lemma for cayley 17657. (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cayleylem1.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
cayleylem1.p + = (+g𝐺)
cayleylem1.u 0 = (0g𝐺)
cayleylem1.h 𝐻 = (SymGrp‘𝑋)
cayleylem1.s 𝑆 = (Base‘𝐻)
cayleylem1.f 𝐹 = (𝑔𝑋 ↦ (𝑎𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
Assertion
Ref Expression
cayleylem2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:𝑋1-1𝑆)
Distinct variable groups:   𝑔,𝑎, +   𝐺,𝑎,𝑔   𝑔,𝐻   𝑋,𝑎,𝑔   0 ,𝑎
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑔,𝑎)   𝐹(𝑔,𝑎)   𝐻(𝑎)   0 (𝑔)

Proof of Theorem cayleylem2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6102 . . . 4 ((𝐹𝑥) = (0g𝐻) → ((𝐹𝑥)‘ 0 ) = ((0g𝐻)‘ 0 ))
2 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
3 cayleylem1.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 cayleylem1.u . . . . . . . . 9 0 = (0g𝐺)
53, 4grpidcl 17273 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → 0𝑋)
65adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → 0𝑋)
7 cayleylem1.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑔𝑋 ↦ (𝑎𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
87, 3grplactval 17340 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋0𝑋) → ((𝐹𝑥)‘ 0 ) = (𝑥 + 0 ))
92, 6, 8syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥)‘ 0 ) = (𝑥 + 0 ))
10 cayleylem1.p . . . . . . 7 + = (+g𝐺)
113, 10, 4grprid 17276 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥 + 0 ) = 𝑥)
129, 11eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥)‘ 0 ) = 𝑥)
13 fvex 6113 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐺) ∈ V
143, 13eqeltri 2684 . . . . . . . 8 𝑋 ∈ V
15 cayleylem1.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (SymGrp‘𝑋)
1615symgid 17644 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ V → ( I ↾ 𝑋) = (0g𝐻))
1714, 16ax-mp 5 . . . . . . 7 ( I ↾ 𝑋) = (0g𝐻)
1817fveq1i 6104 . . . . . 6 (( I ↾ 𝑋)‘ 0 ) = ((0g𝐻)‘ 0 )
19 fvresi 6344 . . . . . . 7 ( 0𝑋 → (( I ↾ 𝑋)‘ 0 ) = 0 )
206, 19syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → (( I ↾ 𝑋)‘ 0 ) = 0 )
2118, 20syl5eqr 2658 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → ((0g𝐻)‘ 0 ) = 0 )
2212, 21eqeq12d 2625 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → (((𝐹𝑥)‘ 0 ) = ((0g𝐻)‘ 0 ) ↔ 𝑥 = 0 ))
231, 22syl5ib 233 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥) = (0g𝐻) → 𝑥 = 0 ))
2423ralrimiva 2949 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) = (0g𝐻) → 𝑥 = 0 ))
25 cayleylem1.s . . . 4 𝑆 = (Base‘𝐻)
263, 10, 4, 15, 25, 7cayleylem1 17655 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
27 eqid 2610 . . . 4 (0g𝐻) = (0g𝐻)
283, 25, 4, 27ghmf1 17512 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → (𝐹:𝑋1-1𝑆 ↔ ∀𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) = (0g𝐻) → 𝑥 = 0 )))
2926, 28syl 17 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (𝐹:𝑋1-1𝑆 ↔ ∀𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) = (0g𝐻) → 𝑥 = 0 )))
3024, 29mpbird 246 1 (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:𝑋1-1𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  Vcvv 3173  cmpt 4643   I cid 4948  cres 5040  1-1wf1 5801  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245   GrpHom cghm 17480  SymGrpcsymg 17620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-tset 15787  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-ga 17546  df-symg 17621
This theorem is referenced by:  cayley  17657
  Copyright terms: Public domain W3C validator